中学数学建模.ppt

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1、函数与不等式函数与不等式l一次函数模型一次函数模型l二次函数模型二次函数模型l幂函数、指数函数、对数函数模型幂函数、指数函数、对数函数模型l不等式模型不等式模型l建模建模(或知识应用或知识应用)提示提示1.实际问题中的数量关系模糊实际问题中的数量关系模糊,数据孤立数据孤立,要对要对有关数据作适当处理后借助于其内在规律有关数据作适当处理后借助于其内在规律或经验或经验,将其理想化、函数模型化将其理想化、函数模型化.2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分抓住相关变量中的主要参变量关系展开分析与讨论析与讨论.3.实际问题中的量具有特殊的含义实际问题中的量具有特殊的含义,在建立函在建立函数或不等式关系

2、时需注意其有意义的变化数或不等式关系时需注意其有意义的变化范围范围,不能只考虑纯数学关系不能只考虑纯数学关系.4.问题所讨论的结果最好具有范式问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推具有可推广性广性.一次函数模型一次函数模型 高跟鞋问题高跟鞋问题 如何选择广告上的优惠计划如何选择广告上的优惠计划 包装与价格包装与价格高跟鞋问题高跟鞋问题设某人下肢躯干部分长为设某人下肢躯干部分长为x厘米厘米,身高为身高为l厘米厘米,鞋跟高鞋跟高d厘米厘米0.618xdld0.6180.382lxd鞋跟高度与好看程度的关系鞋跟高度与好看程度的关系原比原比(x/l)身高身高(cm)鞋跟高度鞋跟高度(cm)新比值新比值

3、如何选择广告上的优惠计划如何选择广告上的优惠计划 实际背景实际背景 为配合不同客户的需要为配合不同客户的需要,广告商设有以广告商设有以 下优惠计划下优惠计划,以供客户选择以供客户选择.计划计划A:即时直接即时直接对话对话+自动数字传呼自动数字传呼计划计划B:即时直接即时直接对话对话+自动数字传呼自动数字传呼每月基本服务费每月基本服务费 98 98 168免费通话时间免费通话时间 首首60分钟分钟 首首500分钟分钟以后每分钟收费以后每分钟收费 0.38 0.38留言信箱服务留言信箱服务 (选择性项目选择性项目)3030 问题问题 在两个计划中选择在两个计划中选择, ,你选择哪一项你选择哪一项?

4、 ? 分析分析 (1)(1)两项服务的不同点两项服务的不同点: :计划计划A A的每月基本服务的每月基本服务 费比计划费比计划B B少少, ,而计划而计划B B比计划比计划A A给客户的首给客户的首 段免费通话时间多段免费通话时间多. .(2)(2)模型假设与建立模型假设与建立 设设t(t(分钟分钟) )为通话时间为通话时间, ,而而C(C() )是所需付出是所需付出 的费用的费用, ,则可列出计划则可列出计划A A与计划与计划B B的付费函数的付费函数 关系式为关系式为: :计划计划A:980.38(60) 98Ct060t (t60)计划计划B:0500t 1680.38(500) 168

5、Ct(t500)(3)究竟通话时间超过多少分钟究竟通话时间超过多少分钟,计划计划B会较会较 计划计划A为优为优? 0.38(t - 60)+98=168 得得 t=244.21(分钟分钟) 故当客户使用该服务的时间超过故当客户使用该服务的时间超过244分分 钟钟(约约4小时小时)时时,计划计划B较优较优.(4)问题推广问题推广 若客户真的选择了计划若客户真的选择了计划B,最多可以比选最多可以比选 择计划择计划A省多少钱省多少钱? 解决解决 由图可知由图可知,起初计划起初计划A比计划比计划B便宜便宜 70 ,当使用时间超过当使用时间超过60分钟分钟, 则两者差距缩小则两者差距缩小,直到直到Q点点

6、,两者已无差距两者已无差距, 即表示两个计划在此时的优惠相同即表示两个计划在此时的优惠相同. 由图由图,用户所得最大优惠差额为用户所得最大优惠差额为 97 060t RSyy0C16898P60Q244SR500计划计划B计划计划At包装与价格包装与价格 某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的, ,有有60g60g装和装和150g150g装两种规格装两种规格. .假设假设, ,冰淇淋售冰淇淋售价价=(=(冰淇淋成本冰淇淋成本+ +包装成本包装成本)(1+)(1+利润率利润率),),并且并且, ,包装成本与球形外壳表面积成正比包装成本与球形外壳表面积成正比. .已知已知60

7、g60g装冰淇淋售价装冰淇淋售价1.501.50元元, ,其中冰淇其中冰淇淋成本为每克淋成本为每克1 1分钱分钱, ,利润率为利润率为25%,25%,问在问在利润率不变的情况下利润率不变的情况下, 150g, 150g装冰淇淋应装冰淇淋应售价多少售价多少? ?两种规格中两种规格中, ,买哪种比较合算买哪种比较合算( 3.684( 3.684可供参考可供参考)?)?350 分析分析 设设60g60g装冰淇淋的包装成本为装冰淇淋的包装成本为x x元元, ,根根据题意据题意, ,得得 解得解得x=0.60(x=0.60(元元) ) 又设又设60g60g装和装和150g150g装两种规格外壳表装两种规

8、格外壳表面积分别为面积分别为s s1 1、s s2 2, ,容积为容积为v v1 1 、v v2 2 ,150g,150g装冰淇淋包装成本为装冰淇淋包装成本为y y元元, ,根据题意根据题意, ,得得1.50(60 0.01) (125%)x所以所以21,0.60yksks22223311150()()0.6060svysv从而从而30.6501.1052()2y 元 150125%3.26g故装冰淇淋售价为150 0.01+1.1052（元）1.500.025()60两种规格的单位重量价格分别为3.26元 和0.0217（元）150故买大包装合算二次函数模型二次函数模型o渔场实际应养多少鱼渔

9、场实际应养多少鱼o关于饮水机的思考关于饮水机的思考o资金分配问题资金分配问题渔场实际应养多少鱼渔场实际应养多少鱼问题某渔场中渔群的最大养殖量为一定值m吨.为保证渔群的生产空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.由长期的统计数据可知,鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比,要想鱼群的年增长量最大,实际应养多少鱼?建模分析建模分析这一问题中涉及最大养这一问题中涉及最大养殖量、实际养殖量、空闲量、空闲殖量、实际养殖量、空闲量、空闲率、年增长量等多个量，其中最大率、年增长量等多个量，其中最大养殖量为定值养殖量为定值m吨，空闲量、空闲吨，空闲量、空闲率、年增长量都随实际养殖量的

10、变率、年增长量都随实际养殖量的变化而变化。化而变化。建立模型假设实际养殖量为x吨，年增长量为y吨，则空闲量为(m-x)吨，空闲率为 ，由问题概述可建立目标函数为mxm2mxkykxxkxmm 2()24kmkmxm 4km2maxkmkm由y=- (x-) +知：m24m当x=时，y2即实际养殖量为最大养殖量的一即实际养殖量为最大养殖量的一半时，鱼群的年增长量最大，最半时，鱼群的年增长量最大，最大增长量为大增长量为 吨。吨。4km042(0,2)kmmmkk再由可得，比例系数的取值范围是关于饮水机的思考关于饮水机的思考 基本假设基本假设（）忽略饮水机启动时所需的（）忽略饮水机启动时所需的 电能

11、电能（）当人回来时，水的温度恰为（）当人回来时，水的温度恰为 制热所能达到的最高温度制热所能达到的最高温度 符号的约定符号的约定 饮水机的制热功率（单位：）饮水机的制热功率（单位：） 饮水机的保温功率（单位：）饮水机的保温功率（单位：） 饮水机的制热最低温度（单位：）饮水机的制热最低温度（单位：） 饮水机的保温最低温度（单位：）饮水机的保温最低温度（单位：） 饮水机机内水的质量饮水机机内水的质量 （单位：（单位：kg） oCoC2T1P2P1TM 饮水机的电阻（单位：饮水机的电阻（单位： ） 饮水机的工作电压（单位：）饮水机的工作电压（单位：） 把水从室温加热到的时间把水从室温加热到的时间 （

12、单位：（单位：s） 在保温情况下，从降到的在保温情况下，从降到的 间（单位：间（单位：s） 水的比热（单位：水的比热（单位：kg ）RU1t2tCoC1T1T2T在保温过程中在保温过程中,水吸收的热量水吸收的热量:212 22QPtI Rt222 22pPtRtU水散失的热量水散失的热量:121()QCm TTQ单位时间内水散失的热量单位时间内水散失的热量:22122 2222PCm TTPtRtUQQtt当外出开着饮水机时当外出开着饮水机时,在外出时间在外出时间t内内,消耗的电能消耗的电能:21WI RtQt22122 22222122 22Pt Cm TTPtRtUPRtUtt Cm TT

13、Ptt当外出关掉饮水机时当外出关掉饮水机时,回来后重新启动回来后重新启动,饮水机饮水机消耗的电能消耗的电能:21 1WPt1.当当 时时,则外出时开着饮水机则外出时开着饮水机 较为省电较为省电, 即即12WW122 21 12t Cm TTPtPtt所以所以1 1 2122 2Pt ttCm TTPt2.当当 时时,则外出时关掉饮水机则外出时关掉饮水机 较为省电较为省电, 即即1 1 2122 2Pt ttCm TTPt12WW模型的应用与评价模型的应用与评价一台一台TC-9901LW型的饮水机型的饮水机,经测量经测量,所需的数据如下所需的数据如下:1550PW240PW0.5mkg110mi

14、n600ts235min2100ts34.2 10/()oCJ kg C1 1 2122 2Pt ttCm TTPt3550 600 21004.2 10959040 21006600( )110(min)s则则资金分配问题资金分配问题有甲、乙两种商品有甲、乙两种商品,经营销售这两种商经营销售这两种商品所获得的利润依次为品所获得的利润依次为P万元和万元和Q万元万元.它们与投入资金万元有如下经验公式它们与投入资金万元有如下经验公式:13,55Px Qx现有现有3万元资金投入经营甲、乙两种商万元资金投入经营甲、乙两种商品品,为获得最大利润为获得最大利润,对甲、乙两种商品对甲、乙两种商品的资金应如何

15、分配投入的资金应如何分配投入?建模分析建模分析 设对甲种商品投入万元设对甲种商品投入万元, 则投入乙种商品为则投入乙种商品为(3-)万元万元,所获得的利润总额所获得的利润总额(万元万元)为为13355yxx(03 )x 模型求解模型求解 设设 ,则则3xt23xt(03)t 则原函数变形为则原函数变形为213355ytt213215220t 03t 当当 时时, 即即30, 32tmax2120y93344393344xx因此因此,为获取最大利润为获取最大利润,对甲、乙两种商品对甲、乙两种商品的资金投入应分别为的资金投入应分别为0.75万元和万元和2.25万元万元, 获得的最大利润为获得的最大

16、利润为1.05万元万元.幂函数、指数函数、对数函数模型幂函数、指数函数、对数函数模型v基本处理方法基本处理方法(1)(0)lnln()lnlnlnbbyaxayaxxabxyy幂函数型处理方法:两边取对数，有即lny=lna+blnxx设则原方程变为y(2)(0)lnlnbxyaeayyabxxxbx指数函数型处理方法两边取对数得lny=ln(ae )即lny=lna+bxy设则原方程变成(3)lnlnyabxxxyabxyy对数曲线型处理方法：设原方程转化为交通流量问题交通流量问题 生活背景生活背景 由于人口的增加由于人口的增加,人们生活人们生活 水平的提高水平的提高,社会拥有车辆的数量在快社会拥有车辆的数量在快 速增加速增加,许多大中城市都车满为患许多大中城市都车满为患,塞塞 车现象处处可见车现象处处可见,所以每一位司机和乘所以每一位司机和乘 客客,都会共同关心交通流量的问题都会共同关心交通流量的问题 交通流量的定义交通流量的定义 设某一辆车的车头与随后的车相隔设某一辆车的车头与随后的车相隔的距离为的距离为,而行驶的车速为而行驶的车速为,定定义单位时间内通过的车辆数为交通义单位时间