考点31 直接证明与间接证明.docx

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1、考点31直接证明与间接证明一、选择题1. (2014山东高考理科T4)用反证法证明命题:“己知,6为实数,则方程V+仆+b=O至少有一个实根”时,要做的假设是(A,方程./+/,=0没有实根.B、方程F+ar+8=。至多有一个实根.Cs方程/+仆+/,=0至多有两个实根.D、方程.d+r+=0恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法,从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0.1.2.因此至少有个实根包含1根或两根,它的反面为0根.【解析】选A.“己知为实数,则方程/+&+=0至少有个实根”的反而是“方程/+心+=0没有实根.”故选A.2. (2014山东高考文科T4)与(2014

2、山东高考理科T4)相同用反证法证明命题:“己知.b为实数,则方程/+r+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(),方程/+心+/,=0没有实根.B、方程/+依+=0至多有一个实根.C、方程/+心+/,=。至多有两个实根.D、方程.d+r+A=O恰好有两个实根.【解题指南】本题考查了反证法,从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0.1,2.因此至少有个实根包含1根或两根,它的反面为0根.【解析】选A.“己知”为实数,则方程V+t+=0至少有个实根”的反面是“方程/+r+,=0没有实根.”故选A.二、解答题3. (2013北京高考理科T20)已知“”是由非负整数组成的无穷数歹力该数列前

3、项的最大值记为人“,第项之后各项“7,%.2的最小值记为Brtfd11-A11Bn.(1)若m为2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列(即对任意WH,写出”I,12,小,心的值:(2)设d为非负整数,证明:a=-d(f1.=1.,2,3)的充分必要条件为为为公差为d的等差数列:(3)证明:若=2,a=1(=1,2,3-),则。的项只能是1或2,且有无穷多项为1【解题指南】(1)根据&的定义求.(2)充分性:先证明a,J是不减数列,再利用定义求d1,:必要性:先证明SJ是不减数列,再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】(1)4=A-4=2-=,W=A-R

4、=2-=,J,=Ax-B,=4-1=3,4=AI-8,=4-1=3。(2)充分性:若(叫为公差为4的等差数列,则为,+(“-I*因为“是非负整数,所以(j是常数列或递增数列.所t,=a1.,=at+(n-1.)J-a.1.=+nd,所以4=A,-B*=d(n=1.,2,3,).必要性:若%.=-/(=123,),假设6是第一个使得at,所以t=a*_”Biat,所以d、=At-B,=&_1_Bak1x0,这与da=d0矛盾.所以0,是不减数列.所以4,=An-纥=a*-=-d即H=d所以也是公差为d的等差数列.(3)首先MJ中的项不能是0,否则4=4-0=2,与已知矛盾.以)中的项不能超过2,

5、用反证法证明如下:若UU中有超过2的项,设可是第一个大于2的项,4,中一定存在项为1,否则与4=1矛盾.当“时,an2,否则与4=1矛盾.因此存在最大的i在2到kT之间,使得q=1.,此时4=4-g=2-8,42-2=0,矛盾.综上6,中没有超过2的项.综合,中的项只能是1或2.下面证明】有无数个,用反证法证明如下:若为最后一个1,则4=A-8,=2-2=0,矛盾.因此1有无数个.4. (2013北京高考文科T20)给定数列a”a?,,a.对i=1.,2,n-1该数列前1项的最大值记为Ai,后n-i项ai.,a,.2,at,的最小值记为B“d,=1-B1.(1)设数列W为3,4,7,1,写出d

6、”d2,心的值.(2)设a,a2,,an(n4)是公比大于1的等比数列,且a0.证明:dd”de是等比数列。(3)设山,d2,CU是公差大于0的等差数列,且d0,证明:a1,a2,an-是等差数列。【解题指南】利用的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出&的通项,再利用等比数列的定义证明dJ是等比数列.(3)先证明an是单调递增数列,再证明即是数列aj的最小项,最后证明W是等差数列.【解析】(1)4=A-4=3-1=2,J,=-B,=4-I=3,4=%-风=7-1=6。(2)由壮4)是公比大于1的等比数列,且a0,可得k的通项为外=42且为单调递增数列。于是当A=2,3,”1时,%=.怨、

7、-叫,=q为定值。九%-可“q_%q-因此d,山,一&1构成首项4=4-生,公比q的等比数列。(3)若d,d2,,d,是公差大于0的等差数列,则0d1.d2d11,1,先证明a1.,a2,,an.,是单调递增数列,否则,设区是第一个使得akak.1成立的项,则Ak=At,BhWBh因此CkT=AkB-2Ak-Bh=dk,矛盾.因此a,az,,a,是单调递增数列.再证明a11为数列aj中的最小项,否则设ak0矛盾.因而k22,此时考虑dk-=Ak-B1.1.=a1.-akO,矛盾.因此,4为数列4中的另小项.dt=AkB,=at-an(k=1.2.n-1.),于是ak=dk+an,从而,a-是等差数列.

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