学论文线性方程组的求解及应用.docx

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1、学年论文题目：浅谈线性方程组的求解及应用学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学学生姓名：学号：指导教师：浅谈线性方程组解的求解及应用数学与统计学院12级信息.与计算科学专业MK：我们己经学习过了一些关线性方程如的般理论，本文在我们学习的基础上总结井推广，讨论了这些理论在高等代数中的应用，并试图应用简单的数学软件来实现求解过程.英文摘要：WehaveIeafnedsomecommontheoriesaboutsystemof1.inearequations,thisartic1.ewi1.1.summarizeandgenera1.izetheIheOiyOn(hebasisfwhaiweha

2、veknown,discuss(heirapp1.icationinhigha1.gebraandtrytouseasimp1.emathsoftwaretofindroots.关词克拉默法则消元解法MT1.ABI1.接法迭代法KeyWord:CramcrsRu1.eE1.iminationMethodMV1.ABDirectMCIhodIterativeMethod一、引言在自然科学和工程技术中，很多问题的解决往往归结于求斛线性代数方程加，例如电学中的网络向超，铅体数学放样中建立三次样条函数向遨用差分法或杵有限元方法解常微分方程组、偏i他分方程的边值时时等，嫉后都归结为求解线性代数方程组.在

3、中学代数中，我们学过二元、三元线性方程组.但在生产实际中所遇到的线性方程如，它的未知址往往不止两个、三个.那我们又该如何其求解呢？本文的主要内容就是以行列式、矩阵为工具讨论一些简单的戏性方程组解的存在性、求解方法.具体地说就是要讨论以下几个何鹿：(1)线性方程组在什么情况下有解？也就是它有耨的充要条件是什么？(2)假如没有解，当然不再讨论：如果有解，它究竟有多少个解？又怎么去求解？(3)假如只有一个解，那也简单：假如有多个解，解与解的关系又是怎么？(4)线性方程组有什么应用？经过深入的学习我们发现一些方程组的系数矩阵大多比较复杂，我们利用鬲国代数中的解法并不能得到它的解，我们用该怎么求解呢？经

4、过数值分析这一门课程的学习我们知道关于线性方程组的致信解法一般两类,一类是直接法，另一类是迭代法.本文将筒略介绍总接法中的最携本的Gauss消去法及其某些变形(这类方法是就低阶柄密矩阵方程组的有效方法和详细介绍迭代法的一些基本理论及JaCObi迭代、GaussSeide1.迭代法、超松弛迭代法以及使用T1.AB如何进行线性方程组的快速求解.二、简单线性方程组的求解行升式投行展开定理：n阶行列式D等于它的任一行元素与该行元素的对应代数余子式乘枳之和.即d=4+%+w,=ZqJ4=1.2“)f-1.定理2行列式的某行元素马另行的时应元素的代数余子式的乘枳之和等于零.1.克拉默法则（行列式）如果线性

5、方程趾aiix1.+a1.2x2+-+a1.nxx=b1.,aiixi+a2jx2+.-+a2nx1.t=h1,的系数行列式a.f1.,.aM那么线性方程祖1）有唯一解:abirtn1.aj-1.%2.r-1.mi即D,是把D中的第i列的元索换成线性方程组的常数项而得到的行列式.证明：为证明2）式是线性方程配1）的解，只需把它代入方程组（I的每个方程，如果两端相等，则说明（2）确实是方程姐（1）的解.将（2）式代入方程组1的第i个方程组的左端,并注意把D,按照第i行展开得d/2+.2DDI）吟A+/P:+-*J=gk他A，+M+也4+”也4J+%（b,4+句/+,也A,+d4J+。*人+%4+

6、%A+.=如（认+44+-+4）+仄（/仆+认+”+“八）+-+“（“,儿+%仆+”,+。“7根据行列式按行展开定理和定理2,可以看出，上式左端方括号只有b1.的系数是D，而其他的bUkHi）的系数都是零.故得,1.D-DmDD这说明（2式是方程组1的解.再证解的唯一性.任给方程组的一个解：X=C1.M=C2.Xn=C.我们只要证明2.给行列式的第2,3.n列分别乘以CKCJ.,Cn后郎加到第一列，知到.a1.,ct+rt1.iCj+1.1.1.atiu,1c,+,2c2+-,11c11a22a2n根据（4式，得=Mbx%瓦22因D0,所以C1.=M,q,仁=果,这样.我们证明了（1）的任一解

7、都是（2）.所以（1的解是唯一的.2.消元解法上面已经了耨/解线性方程组的克拉默法则,但是使用克拉默法则是条件的,它要求线性方程组中方程的个数与未知家的个数相等，而且系数行列式不为宓.可是在很多同理中.我们所遇到的线性方程组并不都是这样的.行时方程的个数!U与未知出的个数相等,但系数行列式等于零；有时共至于方程的个数与未知业的个数都不相等，这时就无行列式可言了.那么对于一般的战性方程如，究竟该如何求解呢？定理3设线性方程组的（D和（II）的增广矩阵分别为A和B.如果A可经过初等变换变为B那么线性方程组和（In是同解方程组.定理4（线性方程If1.有解的判定定理I线性方程组a1.1.,v1+1,

8、x,+.+1.1.1.xrt=1.,czixi+a21x2+.+a2jaxn=b2.可丙+为20+K=,有解的充分必要条件是系数矩阵A和增广矩阵B有相同的秩，即秩A=秩B.当秩A=秩B=n时.方程组5）行唯一解：当秩A=秩BVn时.（5）有无穷多个解.其中awaM4a12%4、A=f1.21.%,B=a2a22aiaanm证明：利用线性变换和第一种列初等变换将方程组5）的系数矩阵AH1.增广矩阵B变为如下的矩阵,其中r为A的秩.r0.0c.1C”,0.0CgGM40I.0C2.EJ,01.0%,1.J.D=00.IC,.21.CEd,00.00.000.000d八10000OJ1.00-00.

9、0J所以D所对应的戏性方程殂为：%+CgX%+c=4“+C27+%=W4+J/+“+%=4,(6)。=%,0=4.由于初等变换不改变矩阵的秩,口根据定埋3同解方程的充要条件，所以有（5）和（6）是同解方程组.所以讨论(5)的求解问题就归结为讨论的求解何起.下面我们分情况讨论(5)是否是有解及有解时该如何求解的何典.情况hrmt且&不全为零.不妨设妨T不等于0,此时出现O=M1.矛盾，所以方程组(6)无解.因此方程组(5)也无解情况2：r=m戌虽然m但4”.全为期.这时方程组,+1.x1,+cn.=这时又有两种情形：（八）当r=n时.方程组(7)为所以此时方程组(7)有唯一解(8),因此方程组(

10、5)仃唯解：%=4，%=W，%=4，(b)当rn时，把方程组(7)改写为如卜方程组：%=4,“1%，%=4%”内,“c21.r.Xq=da、CrwX.于是,让未知匏%，,，儿取任意TH数勺.小，就可得到的解:X(I=4-Gc及“C1.人，Z=4F”儿人，当然(9也是(5)的一个解.反过来,由干(5)与(7)是同解方程组,所以5的任意一个解都必须湎足(7),从而具有(9)的形式,由于人人.,内可以任意选取，所以用上述Zf法可以求出(5)的无穷多解.根据以上讨论,我们可以由情况1和情况(2的讨论可知,或者r=m.或者rvm.但4,T=/=O.方程组(5有解，在这两种情况下都有，秩D=r,所以秩A=

11、扶C.反过来，设秋A=秋C,那么秩D=r,由此即得r=m或者rm但4r.=,.K=0.因而由前面的情况2的讨论呻知，方程组(5)右裤.由情况2（八）知，当秩A=秩C=n,方程组有唯一,解.由情况2(b)知，当秩A=秩Cn时,方程组有唯一解.三、解复杂的线性方程组1 .直接法直接法就是经过有限步数学计算即可求得方程组的精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差).但实际运算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只可求得线性方程组的近似解.下面将闺述这类算法中的最基本的GaUSS消去法及其某些变形,这类是斛低阶瞬密矩阵的有效方法.定理5(矩阵的HJ分解)E设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式Dji=1.2,n),则A可以分解为一个单位下三角阵1.和一个上三角阵U的乘积，且这种分解是唯一的(1) Gauss滴去法设有线性方程组auX+1q+%=A勺x+不等于0.首先设行计数乘数mi1.三ai1.1=-m,f1.A,2,=0,-m.1Z1.,用-m*乘式Ak*x=泗的第k个方程加卜.第i(i=k+1.,n)个方程,消去第k+1.个方程直到第n个方程的未知数xu.得到与式(10)等价的方程组Aa”X=心F.AMD元素的计算公式为:(A*I)(/,y=+,M)=%-SM/b.”=b，_wU然A,“”的第一行直到第k行Ag相同.维续这一过