SARS的常微分方程模型_0.docx

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1、SARS的常微分方程模型SARS的常微分方程模型关键词：常微分方程SARS模型300多年前，由牛顿（Newtonl1642-1727）和莱布尼兹（1.eibniZ,1646T716）所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发觉，其产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.运动物体（变量）与它的瞬时变更率（导数）之间，通常在运动过程中依据某种己知定律存在着联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.总结来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的各阶导数之间的关系式.假如其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分

2、方程.常微分方程是数学理论联系实际的重要工具,它不仅与几何,生物学,经济学等有重要联系,还可以从实践的背景动比联系实际,解决实际生活中的问题，如SARS问题。SAKS（SeverAcuteRespiratorySyndrome严峻急性呼吸道综合症，俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围传播的恶性传染病，潜藏期2-12天,通常在4-5天发病。SARS自2002年11月份发觉以来，快速扩散到世界28个国家，据世界卫生组织报告，截至03年6月13日，全世界的SARS病例已达8454人，共792人死亡，我国状况尤为严峻，病例高达5327人，其中343人死亡。高峰期时，北京市每日新增患者即高达百人以

3、上。SARS的爆发和犷散给我国的经济发展和人民生活带来了很大的影响，我们从中得到了很多重要的阅历和教训，相识到定量地探讨传染病的传播规律，为预料和限制传染病扩散创建条件的重要性。一、模型假设（一）模型一（早期模型）1.一个人得病后接受治疗且在传染期内不会死亡2.平均每天可传染k人（k一般为小数）3.平均每个病人在被发觉前后可以造成干脆传染的期限为1,在此期限后他失去传染作用。（二）模型二（新建模型）：1 .所探讨地区的人口总量肯定，不考虑该时间内人口的迁出迁入。2 .不考虑在SARS传播期间人口的自然诞生和自然死亡。3 .不考虑SARS隐性患者，即只要感染上SARS病毒的患者最终都会表现出症状

4、。4 .在O时刻时，该疫区已发觉SARS患者,作为初值。5 .实行的全部限制措施对于阻挡SARS病毒的传播都是渐渐有效的。二、分析与建立模型（一）早期模型简述早期模型假定初始时刻的病例数NO,平均每位患者每天可传染k人,k代表某种社会环境下一个病人传染其他人的平均概率，与全社会的警觉程度，政府和公众实行的各种措施有关。将整个感染期分为两个阶段，即疾病初发期和限制阶段，实行不同的k值，在每一个阶段内k值保持不变，限制阶段的k值比疾病初发期相对缩小。平均每个病人可以干脆感染他人的时间为1天，在整个模型中被定义为20天。因此得到1的限制下，病例数目随时间t(单位天)的关系为：N(t)=N0(l+k)

5、t并采纳半模拟循环计算的方法，把到达1天的病例从可以干脆传染的基数中去掉。1 .对早期模型的合理性和好用性进行分析与评价建立数学模型的意义在于能够真正应用于实际并很好的解决实际问题，本文主要建立SARS的传播模型，关键在于通过已有数据建立一个真正能够预料以及能为实际的预防和限制供应有价值的具有指导性意义的信息，要从合理性和运用性两方面来评价早期模型，首先要要求模型的建立有依据，预料结果切合实际，并且要求模型能全面模拟真实状况，以量化指标指导实际。(1)早期模型合理性评价其一，该模型的确预料了整个疫情的发展趋势，从这一点上看，是切合实际的。其二，分阶段取k值思想是模型拟合预料更多的状况。伴随着疫

6、情的发展以及社会外部环境的变更，k值跟随时间t变更而变更。而同一阶段内，k值变更并不特别明显，因此为了简化模型，实行了分阶段取k值，并在同一阶段内保持k为同一常数，依据实际数据调整各阶段之间不同k值，在实际性与精确性之间找到了比较合适的权衡。但从预料精确度上讲该模型虽然在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期状况的预料出现偏差。该模型仍存在以下几个缺点：其一，在对参数1的确定上，我们致力于更好地拟合各阶段的数据，得到更好的统计结果，而通过人为测试来确定1的取值,缺乏医学上的支持，降低了模型的合理性。其二，该模型没有考虑SARS的潜藏期，也没有对人群进行合理分类（比如易感人群，疑似人群，已确诊人群

7、，治愈人群，死亡者等），这点对该模型的合理性造成了很大的影响。其三，k值的微小变更会引起拟合结果的猛烈变动。这就给此模型预料一个未知区域的SARS疫情发展带来了很大的挑战其四，在k值不变的状况下，模型的拟合时间较短，最长不超过十天。这就要求k值要不断地变更也保证模型的精确性。从这个方面来说，模型的可操作性不尽人意。（2）早期模型好用性评价该模型通过不同的阶段采纳不同的k值可以体现疫情随实际限制状况的变更而变更的特点，并且通过不同地区的处置考虑到了不同地区的实际状况，具有肯定的好用性。但仍旧存在缺点：由于城市之间人口，政策，风俗习惯等不同，城市间的可比性并不强，预料存在局限性。并且，城市之间爆发

8、疫情的先后依次对实际的疫情变更影响很大，一次采纳先发城市的数据对将来进行预料，好用性有待考虑。2 .模型的缺点：（1）是没有考虑到年龄结构层次对疫情的影响。因为依据医学探讨表明，儿童与老人极易感染非典病毒，而壮年由于精力旺盛是活动主动者，且由于限制后期人们的活动水平降低，使得接触的几率降低，接触几率的不断降低这一点在模型中并没有得到很好的体现。（2）随着医疗水平的提高与人们的意识水平，政府的严厉限制措施，退出率事实上是不断提高的，而我们的模型中却认为是一个常数。依据以上的结论我们可以进行以下改进：在模型中一如接触率和移出率应随着病人的削减而变更，随着时间推移有所调整，以符合预料的须要。在模型中

9、引入接触感染率的概念，即体现接触不肯定感染，只不过是感染率较高。对控后模型加入潜藏期对病毒的传播造成的影响。（二）模型二：改进的模型1.符号说明如表1：3 .模型建立：我们通过探讨发觉，各地的SARS确诊病例在疫情初始阶段呈现爆发趋势，增长很大，随着时间推移，增长率渐渐趋于零，确诊病例数量逐步稳定地趋于一个值。我们把这个值定义为最大容忍量Ko确诊病例增长率与时间t相关，记为r(x)假定0时刻某地通过人口流淌带来病例x(0)为初值，建立模型。?dx=r(x)x?dt?x(0)=x0?对r(x)简洁假设为X的线性函数，用r?l-x(t)？?来描述，于是数学模型可以改进为：K?x(t)?dx(=rl

10、-?K?dt?x(O)=xO?)x,运用常微分方程中的学问，解出x(t)X?d(x)=rl-?xdtK?推出rdt=K(K-)dx=dxx+dxK-xxK-x推出rt=ln-ln(K-)+cl=ln推出rt-cl=ln推出X=Ke-rtxK-x+1K推出ert-cl=xKxcl推出eKxO-1-rt-clK-xx=Kx-1ecl推出x(O)=xO=e=x(t)=?K?-rt?el+-1x?0?利用MT1.AB的参数估计，给定前n个数包含x(0),可以得到K值。三、模型的应用自2003年2月中旬在广东，3月中旬在香港，4月中旬在北京爆发，而后国内大部分地区流行或散发。依据香港卫生署网站供应的香港

11、每口疫情的报告，获得Fl2003年3月27日至2003年5月12日的疫情数据见表2。表2香港SARS疫情数据1.建立室模型我们可以把香港看做一个广义的生物体，SARS爆发后为这个广义的生物体积累了传染源并刺激社会启动应急机制。假定传染源以传染力Ka感染健康群体，社会干预及个体自身免疫力构成群体免疫力Ke,以抑制SARS传播。据此构建SARS疫情的室模型，见图U由于医务人员与SARS患者亲密接触，其传播方式与一般人群中SARS传播方式不同。为探讨人群中SARS传播方式，数据分析时仅采纳市民发病人数作为新发病例。将日期和新发病例作图(见图2),并用光滑曲线连接，视察发觉2003年4月2日前为爆发期

12、，此后新发病例数由16例逐步上升，至4月24口后新发病例呈逐步下降趋势。利用4月2日至5月4日数据，应用NOSA统计分析软件建模，得到模型参数如下：A=165.13900,Kc=O.0823631,Ka=O.1455078.模型拟合有统计学意义(F=120.47,P0.0001),相关指数r=0.82o将拟合的曲线叠加到图1，可见本模型基本反应了数据的变更趋势。图2香港SARS疫情变更趋势图3香港SARS疫情变更趋势预料2.疫情预料为了验证模型的好用性，用模型预料5月5口至5月12口的发病数（图2,图3.代表的点表示实际发病数），如图2、3所示预料结果满足。依据室模型的动力学特性计算出：传染半

13、衰期为4,76天，表明SARS的传染程度据爆发5天后渐渐衰减。免疫半衰期为8.41天，表明群体免疫力据爆发8天后作用达到最强。达峰时间为7.30天，表明据爆发7.3天后，新发病例最多。传染源平均滞留时间为19.01天，表明传染源进入健康群体19天后将基本清除。疫情得以限制时间=达峰时间+病毒平均滞留时间=7.30+19.01=26.31天。疫情完全限制时间=10倍传染半衰期=10?4.76=47.6天。疫情完全排出时间：是新发病人数CSRS70.5的最小时间=70天。应用模型对香港地区疫情中长期预料为：5月19日左右疫情完全限制，到6月中旬疫情解除（见图3）。有理由认为北京地区的SARS与香港

14、地区的相像，并在爆发后实行了相像的社会干预措施。那么依据香港地区疫情发展的室模型，对北京疫情用类比手段进行预料如下：假定2003年4月20日为北京SARS爆发日，那么到4月25口左右SARS的传染程度逐步衰减，而群体免疫力到4月28口左右达到最强，4月27日左右新发病例最多，此后渐渐削减，5月16口左右疫情基本限制，6月6口左右疫情完全限制，到7月上句疫情解除。值得留意的是社会干预（教化，宣扬，隔离）是群体免疫力主要组成部分，提高群体免疫力将缩短SARS流行时间，否则将会有难以预料的结果。因此，疫区的社会干预只能加强，不行片刻松微,参考文献：1234夏结来：非线性模型算法,中国卫生统计，200

15、0年17期.周坏梧：医用生物数学，北京：人民卫生出版社，1987.姜启源：数学建模（第四版），北京：高等教化出版社，2011年.赵楠楠：SARS传播的数学模型，大连海事高校学报；2005年01Wl.5刘畅：SARS爆发预料和预警的数学模型探讨，科学通报；2004年21期.ORDINARYDIFFERENTIA1.EQUATIONMODE1.ONSRSAbstract:SARS(SeverAcuteRespiratorySyndromesevereacuterespiratorysyndrome),intwenty-firstcenturyisthefirstworldwidespreadmalignantdisease,withthelatencyof2-12day,usuallyinthepathogenesisof4-5day.ItsoutbreakandspreadhasbroughtsogreatinfluencetoChina#39;SeconomicdevelopmentandPeOPle#39:Slifethatwegetmanyimportantexperiencesandlessons.Thequantitativestudyofitsspr