模型12 脚拉脚模型（解析版）.docx

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1、脚拉脚模型同模型介绍成立条件：三角彩以隽互林模块一：认识“1Wijlr模型K等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图BABZ已知：ABC.ADE为等腰直角二角形.NB=ND=90。.AB=CB,结论tBF=DF,BFDF.法1倍长中线+手拉手延长DF至点G，使得FG=FD,易证DEFBAGCF(SAS)：所以CG=ED=AD,Z2=Z7;乂/1+/2+/3=560,/3+/4+/5+/6+/7=540(五边形内角和)，Z4=Z6=90i所以N3+N5+N7=N1+N2+N3,所以N1=N5;弋*0,Jmabcgsabad(SAS),：所以NDBG=90,BG=BD:卜_,W:4AD=ED,点F为CE的

2、中点。国所以BF=-DG=DF,BFlDF,bH由BCFgAGEF(SAS).得BCGH.所以N2=N6=90,则N2=N1.在四边形ADEH中，Zl+Z2=18O,则N3+N4=I8O*,又N4+N5=18O,所以N3=N5注意：选界”四边形对角互补”还是“8型特HIlIDEFGCF(SAS).得GHDE.所以NH+NADE=18(T.即NH=NADE=90.所以NH=NABC=90,所以Nl=所2(8型转角)，所以3=N4T证明角相等取决原有等腰亶角三角形底边与公共II点的夹角(夹角小于4S,选算“四边形对角互补”：夹角大于4法2,斜边中线+中位线取AC中点GAE中点H,连接BG.FG,F

3、H,DH.由中位线定理可知：Ki=1AE=DH.FH=-AC=BG.22Z1=Z3=Z2.所以Nl+N5=N2+4,所以/BGF=NFHD;则ABGFqFHD(SAS),所以BF=DF,ZFBG=ZDFh.ZBFG=ZFDH;所以BFG+GFH+/DFH=BFG+3+/FBG5,.选界8翦转角)=ZBFG+Z1+ZFBG.乂BFG+1+/FBG+/5=180（三角形内角和），所以BFG+1+/FBG=90,所以BFJ_DF.2、等腰三角形的序脚拉模型BAB已知：ABCxADE为等腰自角三角形，NB=ND=90,结论：CE=2BD,NBFe=45。.法一：相似ABD-ACE=O=2BDBDIZ4

4、-Z1=：N2-N3-45。（8字型转角）法二，手拉手+平行四边形将线段BD逆时针旋转90“得到线段BG,连接DG、CG。易证：ABADgABCG（SS.Z1=Z4+Z5.又3+N5+6=N75）,所以/I+/2+N3+/6=/2+/4+/3+/5+/6=90+90=180所以CG平行且等于DE,所以四边形DECG为平行四边形.所以CE=DG=iBD,/BFC=/BDG=45FAB=CBiD=ED,3、角互补型脚拉Jl,AB=AC,DC=DE,点F为BE的已知：AABCADCE为等腰三角形,+r=180中点,结论：AFJ_DF.丝=tan2Af-2法1,倍长中线手投手法2,中位线相似经长DF至

5、点G,使得FG=FD,连接AD.AG.BG,延长BG与CD相交于点H.易证：BFGEFDSAS)得；BG/7DE,BG=DE=DC.NEDH=NGHD=.所以NCHB=#所以NABG=NACD(8字型转角)所以ABGgAACD(SAS).得证。取BC中点M,EC中点N,连接AM,FM.DN.FN4由中位线定理得：FN=MC,MF=CN,Z4=Z5i由卜IDNDN.MBBQV,H所以=tan-.向理=tan：FMCN2AM2又NAMF+NCMF=NFND+NCNF：所以NAMF=NFND,得NAMFSNFND：所以N3=N7.S=Ian2：AF2Z1+Z2+Z3+Z4+Z6=Z5+Z6+Z7+Z

6、AFD:所以N1+N2=NAFD=9(例题精讲连接/?/).以鹿)百角JF=I.则A”的长为解：连接CE.延长A8、CE殳千T,【例1】.如图.在Rt中，4HC=90,AB=RC,点。是线段4C上-点,边作等腰直痢Z8OENDBE=9()。，连接AE.点F为AE中点，若AB=4.42-2_.：ZBC=ZDBE.：.NABD=ZCHE.YAB=BCDB=EB.BDCBE(StS),AZfiCE=ZBAD=45,NADB=NBEC.,.BC=HT=AH.二点F是AE的中点,.87是&7的中位线.1TE=2BF=2.；NADB=NBEC,：.NBDC=NBET.：ZT=ZBCD.BT=BG.BDCi

7、2BT(AAS),JCD=ET=1.AD-C-CD-42-2.故答案为：42-2.A变式训练【变式17.如图，&?C中，ZBC=90.BA=BC.Z8E为等腰直珀三地形.NBE尸=90.M为AF,的中点，求证：ME=.证明：如图,延长F料。，使。=.连接八。、BD.为等膜H角三角形，ZBEF=W.：.N8FE=45.BE1.DF.IBE垂直平分DF.,.ZDE=45j.8DF是等腰直粕加形.：.BD=BF,ZDBF=W.:NCBF+NABF=/ABC=%：ZABZBF=ZDBF=90*,：.ZCRF=ZAHD.在4A8和4C8尸中,AB=BCZcbf=Zabd.BD=BFBDCBF(5IS).

8、：.AD=CF.为AF的中点，DE=EF,石是&V)下的中便线.：.ME4-n.【变式2,已知正方形A8CC,将规段8八段点8顺时针旋转(O,得到设段8E,连接EA,EC.在图中依即意补全图形,并求/AEC的度数：(2)作NEBC的平分线Bf交EC于点G.交4于点F.连接C-用等式表示纹段AF从PC之间的数St关系,并证明.解：图形如图1中所示:图1.将规段8A绕点8旋转(90i),得到戏段AB=BE.pq边形A伙7)是正方形.：.BC=AB=BE.：./BAE-ZBEA./BEC=ZBCE.：.NAEC=NAEB+NCEbT(36090”)=135*：(2)攵图2中.结论：2F=2FC+4E

9、.理由：过点作8EC交FC的近长战F点,如图3,YBE=BC8-平分/E8C：.BF毛在平分EC,XFE=FUNFGC=90”.ZFEC=ZFCE=45=.ZGFC=45d，VZI-BH=Zf-GC=lXr.NH=CG=45A/；/=ia45=BH,FH-2B.sn45VZAF=90,-NFBeZCBH=W-NFBC.Nw=NCBH.：AB=CB,.,.ABFCBH(5S).：.AF=CH,：FH=FOCH=FOAF=FC+FE+AE=2CFAE.2-2FC+tE.【变式1-3.(1)如图1.AB=D.AE=AC.NMD=NEAc求证：BE=CD.2)如图2,ZkACE是等边三角形，P为三角形

10、外一点，ZAPC=120-.求证：PPC=PE.(3如图3,若NACE=/AEC=NA。C=45，NAeC-NAEC=60.DC=3,求OE长.证明：(I)，：/BAD=ZEAC,：.NBAE=ZDAC.又.A3=AQ.AE=AC.DCBE(SS)：.BE=CDi(2)如图2.延长CT至C,PG=PA,连接AG.VZMPC=120*二APG=60.AAP=GP.AGP是等边三角形.：.AP=AG=GP.ZPG=ZAGP=60.；八(?是等边三角形.AAE=AC=Cf.NCAE=60”，：./CAE=PAG.：.ZGAC=PE.且AG=AHAC=AE.二ZiAGCgzMPE(W)PE=GC.PE

11、=CC=GP+PC=AP+PC:YNACE=/AEC=45,：.AC=AE.ZCAE=90,如图3,将ZvWJJ烧点A顺时针旋转90,得到ZsAC”,连接)H.CH.,.AEDACH,：.AD=AH,ZDAH=90a,CH=DE.ZAED=ZACH.ZDH=45t,VZDC=45o,；.NHDC=W.VZACD-ZAED=W./.ZCD-ZACH=6O=ZDCH.,NDHC=W.11.ZCDW=9O0,MC=2CJ=6.,.DE=CH=f.实战演练1.如图，分别以AABC的边4B,AC向外作两个等边三角形4A8O,ACE.连接8、CC交点F,连接AF.求证：AACgAAEB:求证：AI-+BF

12、+CF=CD.证明：(I.AABO和ZiACE为等边.角形.：.AD-AH.AC-AE.ZftW=ZCAtf-60.ZDAC=ZBAE=W+ZRAC.AD=AB.d-c?fiw?Zdac=ZbaeAC=ABCDE(S5):(2由(I)知C7M=E8A,如图Nl=N2.I80t-ZCDA-Zl=180-ZEBA-Z2.：.NDAB=NDFB=g；ra.延长F8至K,使雁=CR连DK,.DFK为等边三角形，IDK=DF.,.DBKDF.SAS),：.HKAF.DADK.FKBK+BF.：.1)/At-+HF.乂Y8=DF+CF.2.如图，AABC与48CE均为等腋直角三角形，B1AC,CE_1.8D，点。在A8边上，连接Ea取Ee中点F,求证:证明：(1连接EF,延长/)广交Ae于点G,.E8)=ABC=45，：.ZEBC=W.住RTAEBC中.F为斜边中点.BF=EF.NFBC=NFCB,：.NDFE=NDFB,：ZEFR=ZFBC+ZFCB.：.NDFE+NDFB=NHiC+/FCB.：.?NDFB二INFBC.则NDFB=NFBC.：.DG/BC.,8AC为等!？白角三角形，且。GSaAB=AC,：.AD=AG.HD=CG.,：HD-DE.：.DE=CG.Ynbde=NCab=W,r.DEAC,：./DFF=ZGCF.