02 单位元、逆元、消去律.docx

上传人:王** 文档编号:1393031 上传时间:2024-07-05 格式:DOCX 页数:7 大小:23.59KB
下载 相关 举报
02 单位元、逆元、消去律.docx_第1页
第1页 / 共7页
02 单位元、逆元、消去律.docx_第2页
第2页 / 共7页
02 单位元、逆元、消去律.docx_第3页
第3页 / 共7页
02 单位元、逆元、消去律.docx_第4页
第4页 / 共7页
02 单位元、逆元、消去律.docx_第5页
第5页 / 共7页
02 单位元、逆元、消去律.docx_第6页
第6页 / 共7页
02 单位元、逆元、消去律.docx_第7页
第7页 / 共7页
亲,该文档总共7页,全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述

《02 单位元、逆元、消去律.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《02 单位元、逆元、消去律.docx(7页珍藏版)》请在优知文库上搜索。

1、第二节群基本概念I群,有限群群的阶,元素的阶.点、难点:群的等价定义,元素阶的性幅.-定义2.2.1设G为一个幺半群.若G中旬个元素均可逆,则称G为一个群GrOUP).运以满足交换律的群称为交换群或AbeI群.注对(幺)半群,也有Abel(幺)华群的概念,即群的Abel性仅对运算而占的.(2) Abel群G的运算通常用“,”表示,并称G为加群.例1设G=卜.定义?e=e,则G为群,称为单位元群或平凡群.例2(Z.+.O).(0F)(RF)为群.判断(M+.o.(mjMz,U(Q.U(RJ),否为群?例3(%,+)为群(%z、川)是否为群嗯?定义2.2.2若群G所含的元素个数有限,则称G是有限群

2、.否则称G为无限M一个有限群G所含的元素个数G称为群G的阶.二确定义定理221设G为半群,则下列陈述等价:(1) G是群:(2) G有左单位元/,而且VaeG关于这个左单位元/都是左可逆(x,.VGG.3bG.SJba=/);(3) G有右单位元r,而且YaeG关于这个右单位元r都是右可逆(ie.VG.3eG.sJ,ab=r):(4) a.bGG.方程ax=b.ya=b在一G中都仃解.证n(2):显然.(令=e=即可)(2)n(3):YaeG.设是“关于/的左逆元,是关于/的左逆元,则有lx=cb=l,于是ah-1(ah)=(cb)(ab)=c(ba)b=clb=Cb=/故也足。关于/的右逆元

3、.又al=a(b(i)=(ab)a=Ia=a.故/也是G的右单位元因此(2)o(3).(3) =(4):设C是“关于r的右逆元,类似于(2)=(3):之证可知.,也为左的位元.flCa=Uc=r.于是a(cb)=(ac)b=rb=b,SC)(I-b(ca)=br=b.故cb与be分别是方程ax=b.ya=8在G中的解.(4)=(1):设/是方程)价=的一个科.妨=/.又VaWG,方程加=”有解,设为a即儿=,则有la=I(Itc)=(lh)c=be=(t.从而/是G的一个左单位元.同理,方程hx=j的一个解是G的一个右单位元.他命题2.1.1(1)可知,/=r:e为G的胞位元.VweG1由方程

4、N/=e和x=e在G中有解可知,。既是左可逆又是右可逆,从而由2.1.2(1)可得可逆.因而G是一个群.由定理2.2.1的证明可知:推论2.2.2设G是群,aeG,(1)若。是G的左(右)单位元,则e也是G的右(左)单位无从而。是G的单位元;(2)若。是。的左(右)逆元,则b也是。的右(左)逆元,从而力是。的逆元.即群中的左(右)单位元与单位元是一致的,群中元素是左(右)可逆马可逆是一致的.注设G为一个带有:元代数运算(叫做乘法)的非空集合,G称为群,如果群的第一等价定义:(G1):柒法对闭:(G,):乘法结合律成立;(G3):满足定理2.2.1(4).群的第二等价定义:(G1):乘法封闭:(

5、G2):乘法结合律成立;(G1):满足定理2.2.1(2).群的第三等价定义:(G1):乘法封闭:(G2):乘法结合律成立;(G1),:满足定理2.2.1(3).三有限群定理2.2.3群G的运推满足左,右消去律,即ax=ay=yxb-yb=y证Or=ay=a(Ar)=a(y)=(i)x=(l)y=ev=ey=x=y.同理可证右消去律.推的2.2.4在一个群中.方程v=和y=b在G中均百唯一的解.推论2.2.5设G为群,eeG.则e是G的单位元oe?=e.证(=)显然.(U)时于VaWG,由于=e,则eza=ea=ea=ae=ae=ae=a从而e为碓位元.定理2.2.6(有限忖的第四等价定义):

6、设G为一个有限半哪,?;G的运算适合左,右消去律,则G为群.证因为q注由上表可以推广到一般的情况.i殳八=q,七,其上的代数运算。用一个运算表给出:O1a2&1*“12九a2%diid1.2葭则有(1) 。是人的代数运算u表中的4A;(2)。适合交换律O衣中的J/j(即对称性):(3)。适合左(右)消去律OA中的诲一个元素在去的各行列都出现,且只出现一次;(4) 为是A的左单位元U%所在的行与顶行一段,(dli=ai,j=l,2,./),.是A的右堆位元。%所在的列与顶列T1.(4,=a,J=1.2.);(5) %是生的左逆元(或外是力的右逆元)。勺所在的行与所在列的相交处是单位元,即4=e.

7、四元素的阶在幺半群中,我们规定aa=aa-a,n,=e.那么0呢?i殳G为利.VeG,Vb规定,(=aa(a=e,=Qy定义2.2,3设G为群,e是G的单位元,eG,使得ame成立的最小正整数/M称为元索”的阶,记作。(。)=,或M=】.若这样的,”不存在,则称。是无限阶的,记作d)=8或时=OO.注当G为加群时,其运算记为加法,单位元为0,则ma=O的川小正整数,“为)(2) (j(e)=1.(3) 群的阶和元素的阶不是一回师.例6设JGN,则全体,”次单位根所组成的集合tw=srew=J=U=e=0,1,11-l关于亚数的乘法作成一个乘法交换群,称为W次单位根群.单位元为1.2M2WTs=eEGC,=ewm次本原单位根e的阶为,.如m=3Ul=,.则M)=m(u)=(病)=3.例7模6的剌余类加群信6.+中,)=I,(=D=6,(2)(Z,+,0),Um(w()wZ,0(m)=oo.元素的阶有如下常见性质:o()=p(l)(1)0”=eow”:(2)al=*omI(-幻:若研。)=,.则4(3)e=wn,fl,两两不等:(4)VreZ.()=7-.(1)(2)若Xa)=8.虬(3)(4)a=eo=0:A=a*Oh=k;a1,a-a.a2,两两不等:VrGZ,(rtr)=.

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索

当前位置:首页 > 中学教育 > 中学学案

copyright@ 2008-2023 yzwku网站版权所有

经营许可证编号:宁ICP备2022001189号-2

本站为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。装配图网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知装配图网,我们立即给予删除!