常微分方程的基本概念.docx

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1、考点:常微分方程的基本概念【】1 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.若未知函数是一元函数,则称为常微分方程;若未知函数是多元函数,则称为偏微分方程.考SS链接:例:y*=x,y*+X3y=2,xdy+yclx=O2阶:未知函数的最高阶导数的阶数.考题链接:例:微分方程+)(-心=O的阶数是()A.1B.2C.3D.43.性微分方程:Z(x)-y+(x)+2(x)+.+/,(x)-yw=/()考题链接:例:判断下列函数是否为线性方程.(O+(2)y=A2+y+sinx(3)yr-A-l-siny=0(4) y,-yy*=(5) (y=3x+y4.解:若y=白口代入方程成为恒等

2、式,则称y=3为方程的一个解.(1)通解:含有相互独立(不能合并,),=6+02工与y=+)的任意常数,且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解.(2)特解:不含任意常数的解.例1:某二阶常微分方程的下列解中为通解的是()C. y=sinx+cosxD. y=(C,+C2)c0sxA.y=inxB.y=6,fsinx+C,cosa,例2:函数y=Csinx(其中C为任意常数)是微分方程+y=0的OA.通解B.特解C.解D.不是解例3:已知微分方程y,+ay=e的一个特解为y=xdt,Pl1,a=考点:可分离变量的微分方程【】1)标准形式:/(y)dy=g(x)dx(2)解法:分离变量,化

3、为标准形式;两边同时积分.例1:微分方程-+C=0的通解是OyA.x2+y2=25B.3x+4y=CC.父+寸=CD./-X2=7(列2:方程sec2tanyd+sec2ytanx=(x)(非齐次)若y()是的通解,/(X)是的特解,则r()+()为的通解.2 写出特解形式4O兄不是特征根若y()=S()/“,特解形式应设为二兀乜(人片,其中打I几是单根2兄是重根例1.用待定系数法求方程y”-4F+4y=(2x+l)0的特解时,特解应设为.例2.微分方程yly-2y=X严的特解用特定系数法可设为()A.大二x(ax-b)eFB.才=父(axb)e1C.y=(Qb)kDy*=axe例3.微分方程

4、y+y=段的特解形式应设为二()A.+厂B.ax+bC(Q+b)严D-F(Or+b)严例4.对于微分方程_y*-2y=x2利用待定系数法求特解y时,下列特解设法正确的是0A.才=+bx+cB.y*=寸(Vd+hx+c)Cy*=x(ax+/?)D/=x(av2+Zzx+c)若Fe=QCoSa)X4-Dsinae”,特解形式应设为y*=a*(Acosty.+Bsincox)e,,其二Acoi不是特征根1Acoi是特征根考题链接:例1:微分方程y*y=sinx+cosx特解形式应设为_/=例2:微分方程y*,3y,+2y=eosx特解形式应设为/=(A.CScosXB.e,(Ccosx+C,sinA

5、)C.(Ccos-C2sina)D.,e,(C,cosx+C2sinA)3求通解 求出与其对应的齐次方程*+py*+qy=0的通解Y; 利用待定系数法求出非齐次的一个特解);写出非齐次的通解y=Y+y.(X)型解法:作”次不定积分考题链接:例:微分方程*=24x通解为2.=(x,y)型解法:令y=P,两边对X求导,,“二,然后代入原方程,转化为一阶微分方程求解.例:微分方程+y=的通解为.3-=(yV)型解法:令/=/;,两边对X求导,什业二也虫二P也然后代入原方程,转化dx(Iydxdy为一阶微分方程求解.例:求微分方程y-()2=O的通解.考点:二阶常系数齐次线性微分方程【】1 解的结构定

6、理:若x(x),),2(x)都是方程y+p(x)y,+”(x)y=O的解,则线性组合C也区(GC*为任意常数)仍为它的解若y,(A儿(勿线性无关(儿工辎(”0),则c+c*2为它的通解.2 求通解:写出相应的特征方程厂+/g=0求出特征根Vl写出通解.通解形式:不同实根“牛,y=+G严重根斤二乙=八y二Clrerr+Csx共IE复根r12=api,y=du(C,cosfix+Gsinfix)例1:微分方程/+2/+y=O的通解为()B-G+q严D.(C1+Gx)e-j,C.C(-fC2e例2:微分方程A4y=0的通解为()A.y=Cx+C严B,y=(C,+C2x)FCy=G+C点D.y=Gco

7、s2a+Gsin2x例3:求微分方程2空+4空+3y=0的通解.dx(Ix3已知通解,反求微分方程找出特征根;写出特征方程;写出微分方程.考题链接:例1:通解为=C,+C2(为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为例2.以y=为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为考点:空间直角坐标系【】1 空间直角坐标系三个坐标轴:X轴(横轴),尹轴(纵轴),Z轴(竖轴),它们的正向满足右手法则三个坐标平面八个卦限2 .空间内点的坐标(x,z)(1) 坐标轴上的点:X轴(x,0,0),y轴(0,%0),Z轴(0,0,Z)(2) 坐标平面上的点:X0;平面(兀,y,0),yz-面(0,%z),xZ平面(x,0,

8、z)3两点间的距离MJ_vzj,A/:(XzJ1.阿函J=-x+(儿一)J+(E-zJ考点:向量的概念【】(1) 向量的定义:既有大小又有方向的量.(2) 向量的表示方法坐标表不:二(2)和B(1,3,0)计算向量AP的模、方向余弦和左向角.例2:下列各组角中,可以作为向量的一组方向角的是()a7t7T2jl.9446TCJ1.x-ff-433nrvTCJT7t717C龙J0-99一f432434考点:向量的线性运算【】(1)“土b=yaba,(2)4u=(入心加、,入I)9久“与平行.定理:Z0b=20*=奴乞竹6考题链接:例:已知向量Zx=5,兀-2和/;=”6,4平行,则X和y的值分别为

9、两向量的夹角余弦:COSe=HW(1) 定义:ab=abcosa,h=aZ?cos6(2)计算:ab=axbx+o、九+a.例:已知向量fl=1,1,2和Zx=2,-l.l的夹角为例2:已知向量2=012和/;=2,0,1的夹角为(3)性质:ab-ba(4)充要条件:ab=0ciJ1.考点:向量的向量积(叉积、外积)(1)定义:c=axb 大小:Xb=方sin0几何意义:以NZX为邻边的平行四边形的面积. 方向:2_6,2_1方,且C之力C满足右手法则.(2)计算:ijk%当Shg例1:设a=2_1.-1/=1,一1,2,贝axh=例2:若方=0_1.1力=101l=l,l-0,则(Nx5)-

10、2=,例3:由方二1.0,1/=O_1.2为邻边构成的平行四边形的面积为例4:已知点A(4.-1.2),3(12-2),C(2,0,1),求AABC的面积.(3)性质:核;=Oaxb-bxa考题链接:例:对任意两向量亦;,下列等式不恒成立的是()i*fBub-baD.ab)+(axb)=alfAffa+h=h+aaxb=6ab*.Caxb=hxa考点:2在ZX上的投影【】(4)充要条件:例:向量2=1,1,2在/;=0.3,4上的投影为2在仆的投影:B/=HCs=W-4口4-1 球面球心在点(和y。,Zo),半径为人的球面方程为(X-兀+(yy0)+(z-Zo)2=V球面的一般方程:A攵+Ay

11、+A胃+D.x+Ey+Fz+G=0球面方程特点:三元二次方程,缺交叉项平方项系数相同.2 柱面柱面:直线(母线)沿着定曲线(准线)平行移动所产生的曲面.柱面方程特点:二元方程.考题链接:例1:方程2A-2y2=1表示的二次曲面是OA.球面B.族转抛物面C.柱面D.圆锥面例2:下列方程在空间直角坐标系中所表示图形为柱面的是O2J.A.+=v2B.z-=-21.7344212C.=1D.x2+/-2a=041693 .旋转曲面(1)坐标面内的曲线绕某坐标轴旋转,得到的旋转曲面的方程为:该坐标轴对应的变量不变,而另一变量改成该变量与第三个变量平方和的正负平方根.平面上的曲线PW,Z=O绕X轴旅转得到的曲面方程为:/(x77)=o绕丁轴族转得到的曲面方程为:/(i777,y)=Oyz平面上的曲线绕y轴旅转得到的曲面方程为:/(77+?)=0绕Z轴旋转得到的曲面方程为:/(后不Z)=O兀6平面上的曲线P(,2)=,y=0绕X轴族转得到的曲面方程为:/卜,士何7)=0绕Z轴旋转得到的曲面方程为:/(启孑,十022例1:双曲线T.rI绕Z轴旋转所成的曲面方程为(y=0D.34例2:曲线ZXf为绕X轴旋转一周所形成的旋转曲面方

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