2024圆锥曲线定点、定直线、定值问题.docx

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1、2024圆锥曲线定点、定直线、定值问题定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程；(II)若直线1.y=kx+m与椭圆C相交于4,B两点(A,B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.22【标准答案】由题意设椭圆的标准方程为=l(ab0)a3+4/+3+4/+3+422+-2k7/m2+16/wA+4A:2=(),解得班=-2Kw2=万，且湎足3+4公一机2o当机=2女时，/:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k22当m二时，

2、ly=k(x一一)，直线过定点(一,0).综上可知，直线/过定点，定点坐标为(一,0).72、已知椭圆C的离心率e=*,长轴的左右端点分别为A4-2,0),A2(2,0)o(I)求椭圆C的方程;(II)设直线x=my+l与椭圆C交于P、Q两点，直线AF与A?Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。b2,X2V2a+c=3,a-c=,a=2,c=yb1=3-F-=1.43(y=kx+m22得(3+4公)f+8出+4(62-3)=0,+=143二64m2k2-16(3+4公)(w2-3)0,3+42-m20.Smk4(n

3、2-3)3+4/=3+必2yiy2=(履1+w)(kx2+加)=Zr2X1X2+mk(xlx2)+m2=T3+4Zu以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD=-1,A=-1,xl-2X2-2(最好是用向量点乘来)乂+X-2(%x2)+4=0,3(14公)4(加-3)16。解法一：(I)设椭圆C的方程为m+t=l(ab0)oab*a=2,q=-=,：.C=事,b2=a2-c2=1).7分取m=l,得P停q(0,T),直线AF的方程是y=x+g,直线AzQ的方程是y=；XT交点为，(4,1).，若交点S在同一条直线上，则直线只能为，：x=4。8分x,._.以下证明对于任意的m,直线AF与

4、直线A2Q的交点S均在直线/:x=4上。事实上，由1+y得X=my+1(my+1)2+4y2=4,即(11?+4)y?+2my-3=0,记P(xl,y1),Q(x2,y2),则AF的方程是y=B-(x+2),A?Q的方程是y=(x2),消去y,得(x+2)=上(x-2)Xj+2x2-2x+2x2-2以下用分析法证明x=4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明且=趣工，即证x1+2X2-23y1(my2-l)=y2(myl+3),即证2my,y2=3(y1+y2).:2myly2-3(y1+y2)=；=0,，式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线：x=4上。m+4m+422解法三：（三）庄

5、I-)(-2-)=-2=-441616综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为(,0)。13分424、已知椭圆的焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线炉=4)，的焦点，离心率。=一广，过椭圆的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线/,交椭圆于A、8两点。(I)求椭圆的标准方程；(II)设点M(m,0)是线段QF上的一个动点，且(MA+M8)J,A8,求用的取值范围；(In)设点C是点A关于X轴的对称点，在X轴上是否存在一个定点N,使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：(I)设椭圆方程为J+a=l(bO),由题意知b=l2Y=Y=5故椭圆方程为+y2=1（三）由(

6、D得尸(2,0),所以0n2,设/的方程为y=-工一2)(AwO)2代入弓+y2=,得(5公+1口2-2042%+2(汰2-5=0设AaPy必)，则X+20222OP-55r+1区-5公+1，,+必=Z(Xl+x2-4),y-=A(Xl-X2).MA+MB=x-117,y1)+(-w,y2)=(x1+x2-2M,y1+y2)9AB=(x2-xvy2-yl)(MA+MB)AB,:.(MA+MB)AB=0,.(1+x2-2nr)(x2一%)+(%-X)(乂+%)=。20k2,收Z0cXi2八m八八85A2+15+18-5m5Q当0加时，有(M4+MQ)J.AB成立。(III)在X轴上存在定点N,0

7、),使得C、B、N三点共线。依题意知C(X1.M),直线BC的方程为广言仙令=则*12+=暗针/的方程为y=Z*-2),A、8在直线/上，y1=女(F-2),y2=k(x2-2)x=k(x+2)-4k(x+x2)-4kkx-l)x2+k(x2-l)xl_2Ax1x2-2k(x+x2)20k22Ok5k2+-4k亚i=*.在X轴上存在定点N(3,0),使得CBN三点共线。22解法二：（三）由(I)得注(2,0),所以02设/的方程为y=Z(x-2)伏。0),尤2RAy+/=1,得(5k2+I)X2-20k2+205=0设A(xl,y)B(x2,y2则20k220/一5Xx+x2=;,XX2=勺25A:2+1,25k2+14k5F+y1-y2=(x1-x2)；(MA+MB)AB,.MAI=IM81,(x1-w)2y1=y(x2-m)2+y2,.(x+x2-2根)(玉一z)+(X+%)(%一%)=，(l+r2)(xl+x2)-2