3.1从算式到方程(提高)知识讲解.docx

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1、从算式到方程(提高)学问讲解撰稿:孙景艳审稿:赵炜【学习目标】1 .正确理解方程的概念,并驾驭方程、等式及算式的区分与联系;2 .正确理解一元一次方程的概念,并会推断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解;3 .理解并驾驭等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂:从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1 .定义:含有未知数的等式叫做方程.要点诠释:推断一个式子是不是方程,只需看两点:一.是等式;二.是含有未知数.2 .方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.要点诠释:推断一个数(或一组数)是否是某方程的解,只需看两点:.它(或它们)是方程中未知数的值

2、;将它(或它们)分别代入方程的左边和右边,若左边等于右边,则它们是方程的解,否则不是.3_.解方程:求方程的解的过程叫做解方程.4.方程的两个特征:(1)方程是等式;(2)方程中必需含有字母(或未知数).【高清课堂:从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义:只含有一个未知数(元),并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释:(1) “元”是指未知数,“次”是指未知数的次数,一元一次方程满意条件:首先是一个方程;其次是必需只含有一个未知数;未知数的指数是1;分母中不含有未知数.(2) 一元一次方程的标准形式是:ax+b=O(其中aWO,a,b是

3、已知数).(3) 一元一次方程的最简形式是:ax=b(其中a#0,a,b是已知数).【高清课堂:从算式到方程三、解方程的依据一等式的性质】要点三、等式的性质1 .等式的概念:用符号来表示相等关系的式子叫做等式.2 .等式的性质:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.即:假如那么c=bc(C为一个数或一个式子).等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即:假如=6,那么M=加;假如=b(cw),那么2=2.cc要点诠释:(1)依据等式的两条性质,对等式进行变形,等式两边必需同时进行完全相同的变形;(2)等式性质1中,强调的是整式,假如在等式

4、两边同加的不是整式,那么变形后的等式不肯定成立,如x=0中,两边加上工得x+4=,这个等式不成立;XXX(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时,这个除数不能为零.【典型例题】类型一、方程的概念Cl.下列各式,哪些是等式?哪些是方程?83a+4;x+2y=8;5-3=2;x一一=2;y=10;一一=3;3y2+y=0;XX 2a,3a2: 3aV-2a.【答案与解析】解:等式有:,;方程有:.【总结升华】方程是含有未知数的等式,方程和等式的关系是从属关系,且具有不行逆性,方程肯定是等式,但等式不肯定是方程,区分在于是否,含有未知数.2.下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是()./、5x

5、+l.、A.2-l=3(2,-1)B.=X-I(3,-3)8C.(-l)(-2)=0(1,2)D.2(y-2)-l=5(5,4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边,使左边=右边的是方程的解,若左边W右边的,则不是方程的解.【总结升华】检验一个数是否为方程的解,只要把这个值分别代入方程的左边和右边:若代入后使左边和右边的值相等,则这个数是方程的解;若代入后使方程左右两边的值不相等,则这个数不是方程的解.举一反三:【变式】(2011广东湛江)若X=2是关于X的方程2x+3W-I=O的解,则用的值为【答案】-1.类型二、一元一次方程的相关概念3.已知下列方程:f+i=o

6、;x=0;,+x=3;x+y=O;=6x-2;X30.2x=4;2x+l-3=2(xT).其中一元一次方程的个数是().A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】方程中未知数X的最高次数是2,所以不是一元一次方程;方程中的分母含有未知数X,所以它也不是;方程中含有两个未知数,所以也不是一元一次方程;经化简后为-2=-2,故它也不是一元一次方程;方程满意一元一次方程的条件,所以是一元一次方程.【总结升华】方程中的未知数叫做元,只含有一个未知数称为“一元”,“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数,推断一个方程是不是一元一次方程,看它是否具备三个条件:只含有一个未知数;经过整理未知数的最高次数是

7、1;含未知数的代数式必需是整式(即整式方程).举一反三:【变式】(1)已知关于X的一元一次方程1.dg2=0,求得m=.5(2)己知方程(m-4)x+2=2009是关于X的一元一次方程,则m的取值范围是.(3)若(m一2)H=5是关于X的一元一次方程,则m的值为()A.2B.-2C.2D.4【答案】(1)机二一!(2)m4(3)B3类型三、等式的性质Ch.用适当的数或整式填空,使所得的结果仍为等式,并说明依据等式的哪条性质,以及怎样变形得到的.(1)若4a=8a-5,则4a+=8a.(2)若-6x=-,则X=.31-3y=l-3y,则;+l=.(4)ax+by=-c,则ax=-C.【答案与解析

8、】解:(1)5;依据等式性质1,等式两边同时加上5.(2)依据等式性质2,等式两边同时除以-6.18(3) 2;依据等式性质1,等式两边都加上(l+3y).(4) -by;依据等式性质1,等式两边都加上-by.【总结升华】先从不需填空的一边入手,比较这一边是怎样变形的,再依据等式的性质,对另一边也进行同样的变形.举一反三:【变式】下面方程变形中,错在哪里:(1)由2+x=-4,得x=-4+2.9(2)由9x=-4,得X=一一.4(3)由5=x-3,得x=-3-5.324x+1(4)由士上二1一士匚三,得3-2=5-4x+l.55(5)方程2x=2y两边都减去x+y,得2-(x+y)=2y(x+

9、y),即-y=-(-y).方程x-y=-(x-y)两边都除以x-y,得I=1.(6)由己二=+2x,得3(3-7x)=2(2x+l)+2x.23【答案】(1)不正确.错在数2从方程的等号左边移到右边时没有变号.(2)不正确,错在被除数与除数颠倒(或分子与分母颠倒了).(3)不正确,错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错,正确的变形是:由5=x-3,得5+3=x,即x=5+3.4+1(4)不正确,没有留意到分数士一中的“分数线”也起着括号的作用,因此当方程两边5的各项都乘以5时,+1没有变号.(5)不正确,错在其次步,方程两边都除以x-y,由等式性质2要除以不为零的数.(6)不正确,错在2x没乘

10、以公分母6.类型四、等式或方程的应用C5.(2011河北模拟)视察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式,探究其中的规律:(1)请你在和后面的横线上分别写,出相对应的等式.140+1三41-3;(2)通过猜想,写出与第n个图形相对应的等式.【答案与解析】解:通过视察图像可得:图形呈放射状,四条线上每改变一次各增加一个点,第n个图形每条线上应当是n个点:再视察对应的等式:等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数,等式的左边是从1个点起先的,第2个图形增加4个点表示为4X1+1,第3个图形又增加4个点,表示为4X2+1,,第n个图形共增加(nT)个4个点,表示为4(nT)+l;等式的右边,把

11、第一个图形看作4点重合为一个点,表示为4X1-3,第2个图形增加4个点,表示为4X2-3,第3个图形又增加4个点,表示为4X3-3,,第n个图形看作n个4个点少3个点,表示为4n-3,所以有4(n-1)+1=4n-3.(1) 4X3+1=4X4-34X4+1=45-3(2)4(n-l)+l=4n-3【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系.举一反三:【变式】(2011山东滨州)某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为X,则下面所列方程中正确的是()A.289(1-%)2=256B.256(1-x)2=289C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289【答案】A

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