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1、黄金冲刺大题04概率统计(精选30题)1.(2024浙江绍兴二模)盒中有标记数字1,2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球,求取出的2个小球上的数字不同的概率;(2)若不放回地依次随机取出4个小球,记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122,则X=2),求X的分布列及数学期望E(X).【答案】(呜;(2)分布列见解析,1.【分析】(1)根据组合知识求得取球的方法数,然后由概率公式计算概率;(2)确定X的所有可能取值为0,1,2,然后分别计算概率得分布列,再由期望公式计算出期望.【详解】(1)设事件A=”取出的2个小球上的数字不同”,则P(八)=C2C2+C2C2=1CC-2(2)
2、X的所有可能取值为0,1,2.当相邻小球上的数字都不同时,如1212,有2xA:xA;种,则P(X=O)=空警生=;当相邻小球上的数字只有1对相同时,如1221,有2xA;xA;种,则P(X=I)=*S1.A4J当相邻小球上的数字有2时相同时,如1122,行2xA;xA;种,则尸(X=2)=i=:所以X的分布列为P333所以X的数学期望E(X)=Ox;+lx;+2x;=1.2. (2024江苏扬州模拟预测)甲、乙两人进行某棋类比赛,每局比赛时,若决出输赢则获胜方得2分,负方得0分;若平局则各得1分.己知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为:,且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局,求甲
3、共得3分的概率;(2)规定比赛最多进行五局,若一方比另一方多得4分,则停止比赛,求比赛局数X的分布列与数学期望.【答案】(I)J317(2)分布列见解析,.o1【分析】(1)写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出;(2)算出X为不同值时对应的概率并填写分布列,之后求出数学期望即可.【详解】(1)设“三局比赛后,甲得3分”为事件A,甲得3分包含以下情形:三局均为平局,三局中甲一胜一平一负,所以P(AH故三局比赛甲得3分的概率为,.(2)依题意知X的可能取值为2,3,45,P(X=2)=2(g)=|,P(X=3)=2x呜=.P(X=4)=2XMg+G削喘P(X=5)=1-P(X=2)-
4、P(X=3)-P(X=4)=W-+畜故其分布列为:P294271081418?if11,11r,vC2C4,10c41317期望E(X)=2-+3+4+5=.,9278181813. (2024江苏南通二模)某班组建了一支8人的篮球队,其中甲、乙、丙、丁四位同学入选,该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长,甲不担任队长,共有多少种选法?(2)某次传球基本功训练,体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练,老师传给每位学生的概率都相等,每位学生传球给同学的概率也相等,学生传给老师的概率为g.传球从老师开始,记为第一次传球,前三次传球中,甲同学恰好有一次接到球且第三次传球
5、后球回到老师手中的概率是多少?【答案】(1)9种【分析】(I)法一,利用分步乘法计数原理集合组合数的计算,即可求得答案;法二,利用间接法,即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法,减去甲担任队长的选法,即可得答案;(2)考虑第一次传球,老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位,继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况,结合乘法公式以及互斥事件的概率求法,即可求得答案.【详解】(1)法一,先选出队长,由于甲不担任队长,方法数为C;再选出副队长,方法数也是C;,故共有方法数为C;xC;=9(种).方法二先不考虑队长人选对甲的限制,共有方法数为A:=4x3=12(种);若甲任队长,方法数为C
6、;,故甲不担任队长的选法种数为12-3=9(种)答:从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长,甲不担任队长的选法共有9种.(2)若第一次传球,老师传给了甲,其概率为。;第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学,其概率为最第三次传球,乙、丙、丁中的一位传球给老师,其概率为,故这种传球方式,次传球后球回到老师手中的概率为:=4779o3若第一次传球,老师传给乙、丙、中的任一位,其概率为“第二次传球,乙、丙、丁中的一位传球给甲,其概率为,,第三次传球,甲将球传给老师,其概率为3213这种传球方式,三次传球后球回到老师手中的概率为点,333所以,前三次传球中满足题意的概率为:+=-.9898
7、493?;:前二次传球中,甲同学恰好有一次接到球且第T欠传球后球回到老师手中的概率是494. (2024重庆模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺,努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标新能源电动汽车作为战略新兴产业,对于实现“双碳目标具有重要的作用.赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度,对所有的意向客户发起了满意度问卷调查,将打分在80分以上的客户称为“问界粉现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计,得到如下的频率分布直方图:频率八福0.030.020.01I105060708090100(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数);(
8、2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取IO名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观,在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券.记获赠购车券的“问界粉”人数为九求J的分布列和数学期望E(J).【答案】(1)73.3分3(2)分布列见解析;期望为W【分析】(I)根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案;(2)确定抽取的“问界粉”人数,再确定岑的取值,求解分布列,利用期望公式求解期望.【详解】(1)由频率分布宜方图可知:打分低于70分的客户所占比例为40%,打分低于80分的客户的所占比例为70%,所以本次调查客户打分的中位数在70,80)内,由70+1OX黑镖二号。73
9、.3,0.70-0.403所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分;(2)根据按比例的分层抽样:抽取的“问界粉客户3人,“非问界粉”客户7人,则4的所有可能取值分别为0,1,2,其中:,5)=等4,-2)=等WJOIDJO所以J的分布列为:012P7157151U7713所以数学期望EC)=OX高+1xR+2xA.J1.JJlJ1zJ5. (2024福建三明三模)某校开设劳动教育课程,为了有效推动课程实施,学校开展劳动课程知识问答竞赛,现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库,其中家政类占,园艺类占,民族工艺类占;根据442224以往答题经验,选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分
10、别为选手乙答对这三类题目的概率均为;.(1)求随机任选1题,甲答对的概率;(2)现进行甲、乙双人对抗赛,规则如下:两位选手进行三轮答题比赛,每轮只出1道题目,比赛时两位选手同时回答这道题,若一人答对且另一人答错,则答对者得1分,答错者得T分,若两人都答对或都答错,则两人均得0分,累计得分为正者将获得奖品,且两位选手答对与否互不影响,每次答题的结果也互不影响,求甲获得奖品的概率.【答案】(吗小441(2)1000【分析】(1)利用全概率公式,即可求得答案;(2)求出乙答对的概率,设每一轮比赛中甲得分为X,求出X的每个值对应的概率,即可求得三轮比赛后,甲总得分为丫的每个值相应的概率,即可得答案.【
11、详解】(I)记随机任选1题为家政、园名、民族工艺试题分别为犷件A(i=l,2,3),记随机任选1题,甲答对为事件8,111224则P(八)=TP(4)=了P(八)=5金(8|4)=丁尸(8|人)=丁(8|4)=丁则P(B)=P(八)P(A)+p(4)p(34)+p(八)p(54)2143X1X=5255(2)设乙答对记为事件c,则P(C)=P(八)P(ClA)+P(八)尸(c4)+p(八)p(cA3)=-X11=一,4242222设每一轮比赛中甲得分为X,P(X=-I)=P(BC)=1则P(X=1)=P(BC)=P(B)P(C)35P(X=O)=P(BCD前)=P(BC)11-=25三轮比赛后
12、,设甲总得分为匕则尸(y=3)=儒)27100O,Pa=2)=仁127X-=,2200P(E=C/百+小用W279IO(X)所以甲最终获得奖品的概率为P=尸(y=3)+p(y=2)+p(y=1)=2727279441T+=1000200100010006. (2024江苏南京二模)某地5家超市春节期间的广告支出X(万元)与销售额了(万元)的数据如下:超市4BC/)E广告支出X24568销售额y3040606070从A,B,C,D,七这5家超市中随机抽取3家,记销伊额不少于60万元的超市个数为X,求随机变量X的分布列及期望E(X);(2)利用最小二乘法求),关于X的线性回归方程,并预测广告支出为
13、10万元时的销售额.-2fix除线性回归方程RMA中斜率和截距的最小二乘估计公式分别沏.Q钎9【答案】(I)X的分佰列见解析,期望E(X)=(2)y=7x+17;预测广告费支出10万元时的销售额为87万元.【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解分布列,进而可求解期望,(2)利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】(1)从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市有C,D,E这3家超市,则随机变量X的可能取值为1,2,3P(X=I)=隼=3,p(x=2)=华=3,P(X=3)=-=-,C;10C5C;10,.X的分布列为:、_2+4+5+6+8_30+40+
14、60+60+70C(2) X=5,y=52,B-8_60+160+300+360+560-5x5x52_:一弋,4+16+25+36+645x5?1.xnx1-1=527x5=17.O关于X的线性回归方程为9=7x+17;在亍=7x+17中,取X=I0,得9=7x10+17=87.二预测广告费支出10万元时的销售额为87万元.7.(2024重庆三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为:,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.记随机变量X=:蠹葭器裁判,(fA,),Pi(%=)r表示前局中乙当裁判的次数(1)求事件=3且X=1”的概率;求Pi;(3)求E(X),并根据你的理解,说明当充分大时E(X)的实际含义.附:设X,y都是离散型随机变量,则e(x+y)=e(x)+矶y).3【答案】j4Pj=(T)XT)I+g;(3)P,答案见解机【分析】(1)把事件“=3且X=I分拆成两个互斥事件的和,再分别计算各事件的