21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（教师版）.docx

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1、21相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅内劳斯（Meneiaus,公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯（定理）模型;如图1,如果一条直线与4BC的三边A8、BC、CA或其延长线交于尸、D、E点,那么会黑弓二1.这条直线叫48C的梅氏线，AABC叫梅氏三角形梅涅劳斯定理的逆定理：如图I，若F、D、E分别是4BC的三边A8、BC、CA或其延长线的三点，如果则R。、七三点共线.塞瓦（GGO1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理

2、是指在AABC内任取一点G,延长AG、BG、CG分别交对边于。、E、F,JtrlCEllFBDCE4如图2,则而.而嬴=1。注意：梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在AABC中，Ao为中线，过点C任作一直线交48于点F,交Ao于点、E,求证：AE.ED=2AF.FB.【解析】,直线人”是AABD的梅氏线,.AEDCBF1,=1EDBCFADC1AEBFlltlAE2AF而=-,.=1,即=.BC

3、2ED2FAEDBF【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线.例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在AABC中，NACB=90o,4C=BC.AM为BC边上的中线，CD1AM于点D,C。的延长线交A8于点E求常【解析】：HR:是的梅氏线，由题设，在Rt4MC中，CD1AM,AC=2CM,由射影定理盥=孚4丝=黑=4.对448M和截线EOa由梅涅劳斯定理,DMDMAMCM2普2AEBCMD,u,1AE21EBCMDAEB14【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线.例3.（2023.湖北九年级期中）如图，点、E分

4、别在A4BC的边AC、AB上，AE=EB,=gBD与CE交十点F,SXABC=40.求SAEFD.【解析】对“和截线BF。，由梅氏定理得：1*1.IyrDC即蓝=1.噌=(Sabfe=；Sa8EC=ESM8cAEFD=S&aBDSABEF=ODsMBC=非4。=11.【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题.例4.（2023.江苏九年级月考）已知AO是AABC的高，点。在线段BC上，且8D=3,CD=1,作。EIAB于点E,DFj1.Ae于点、F,连接M并延长，交BC的延长线于点G,求CG.【解析】如图，设CG=x,MG是ARBC的梅氏线则由梅涅劳斯定理雷低嗡=1.显然崎鸣谓=缁于是产=】，得

5、T【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合.例5.（2023.广东九年级专项训练）如图，在a48C中，4的外角平分线与边8C的延长线交于点P,的平分线与边CA交于点Q,NC的平分线与边A8交于点R,求证：P、Q、R三点共线.【解析】”是/R4C的外角平分线，则2=等BQ是48C的平分线，则盖=%CR是2CB的平分线，则黑=等X酬空.丝.竺=丝.些卫=1,PCQARBCAABBC因K在44上，Q在CA上，户在8C的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：A。、K三点共线.【点睛】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用.例6.（2023上广东深圳九年级校联考期中）梅涅劳斯（Men

6、aaUC是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1,如果一条直线与AABC的三边A8,8C,&4或它们的延长线交于尸、D、E三点，那么一定畸喘嗤=1.下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程:证明：如图2,过点A作TlGIl8C,交加的延长线于点G,则有警=煞生=会FBBD4AG*AGFBDF,AAGESACDE,FBBDCEDCEAAGBDCDDCAG请用上述定理的证明方法解决以下问题:（1）如图3,C三边CB,AB,AC的延长线分别交直线!于XZZ三点，证明：等CZAYZAYB1.请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4,等边力BC的边长为3,点

7、。为BC的中点，点产在48上，且8户=2AC/与40交于点E,试求AE的长.（3）如图5,A48C的面积为4,尸为AB中点,延长BC至。，使CD=BC,连接F。交Ae于E,求四边形BCEF的面积.【答案】（1）详见解析；（2）4E=jg;（3）；43【分析】过点C作CV屹交于点N,根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可二（2）根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可.（3）根据定理，计算比值，后解答即可.【详解】（1）证明：如图，过点C作v立交Ay于点N,m,lBXBYCZYN4,BXCZAYBYYNAY,IJII=故-=1XCYNZAAYXCZAYBYNAYYB（2）解：如图，

8、根据梅涅劳斯定理得：器答=1.roDCEAAp1BC.BF=2AFf.一=-,=2,DE=AE.在等边48C中，；48=3,点。为BC的中点，BF2CD.4OJ_8C8D=CQ=m.,由勾股定理知：AD=y3E=3.（3）解：线段。是AABC的梅氏线，;由梅涅劳斯定理彳导，7,77,77=,即iXixZT=1，则7=不如图，连接尸C,FBDeEA11EAEA2SABCFTScSACEFTZkBC一卜是Slnl边形BCFF=S&b+CEF=ABC=T=ZO3【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握定理是解题的关键.例7.（2023.山东九年

9、级月考）如图：P,Q,R分别是AABC的3C,CA,AB边上的点.若4P,BQ,CR相交于一点M,求证：BPpCQpM=1.PCQARB证明：如图，由三角形面积的性质,有誓学返，瞿东幽，弃登a以上三式相乘，得况.毁理=.他BMCPCSamcQASambPCQARB例8.（2023.浙江九年级期中）如图，在锐角AABC中，AO是BC边上的高线，是线段A。内任一点,8”和CH的延长线分别交AC、A8于E、F,求证：NEDH=/FDH。ABDC【详解】证明：过点A作PQ5C,与DF,力E的延长线分别交于点P、Q,R.dQjBDC对MBC和点H应用赛瓦定理可得：三=1.IzCkADCDCHRC.AF_

10、APCE_CD.APBDCD_.PQHBc,丽一访,疏一而，访.布而一1，AP=AQ根据垂直平分线，.PD=QD,.PQO是等腰三角形，NEQ二N尸。”。点评：本题考杳了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键.例9.(2023.北京九年级月考如图，四边形ABe。的对边AB和CD,AD.线AC与BD交于点M,直线K1.与80,AC分别交于F、G,求证：GDKf1.G对AOK1.和点4应用赛瓦定理可得：三=1.AKF1.1.D对AO也和截线4CG,由梅氏定理得:，翳=1AKG1.CU由得：77=7r1.1.U则DA1.PQo5C分别相交于1.、K,对角FKG一-71.G点评：本题考查了赛瓦

11、定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键.例10.（2022山西晋中统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的直线论，是意大利数学家塞瓦的重大发现.塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家.定理内容：如图1,塞瓦定理是指在4BC内任取一点。，延长AO,BO,CO分别交对边于O,E,Ff则BDCEAFY-X-X-=1.DCEABF数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用.任务解决：如图2,当点O,E分别为边8C,AC的中点时，求

12、证：点尸为AB的中点；若AABC为等边三角形（图3）,A=12,4E=4,点。是BC边的中点，求B尸的长，并直接写出80户的面积.【答案】证明见解析BF=8；ABOF的面积为65【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解；（2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出3尸，然后过点尸作/GJ_BC于G,证明AC0DAC尸G,可求出。力，从而求出aBOC的面积，然后根据喘=：可求aBb的面积，从而得解.D1.【详解】（1）证明：在AABC中，点O,E分别为边BGAC的中点，BO=CD,CE=AE.由赛瓦定理可得：三=1.=l：.AF=BF.即点产为A8的中点；DCEABFBF（2）解：YZkABC

13、为等边S角形，AB=12,BC=AC=12C点。是BC边的中点,FD=DC=6,.MF=4,CE=8.由赛瓦定理可得：BF=Si过点尸作尸GJ_BC于G,A=BFcos60。=4,FG=Fsin60=43,：,CG=BcBG=8,VAB=AC,BD=CD,ADBC,：.ADFGf：.&CODACFG,;噌=符即能号，8=小一次8Co=COD=18J,VB=12,BF=3,；.AF=AB-BF=*工=；BF2SABCF2又SAABC=fX12?=366,.SaBCF=SaABC=243Sb0p=SABCF-SBOC=63【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂

14、题意，学会运用塞瓦定理是解题的关键.课后专项训练1. （2023.广东九年级期中）如图，在AABC中，M是4C的中点，E是AB上一点，AE=工48,连接EM4并延长，交BC的延长线于则屁=（）CD232解：法1：对AABC和截线EM0,由梅氏定理得：EBCDAM ：M是AC的中点,E是AB上一点,AE=工A8,差=：,粤=1,4EB3AM 律1=1，,喝=3,.卷=2,故选A法2：如图，过C点作CPA8,交DE于P,*：PC/AE,1.XkEMsXCPM,.PC-CMAEAMTM是AC的中点，AM=CM,：.PC=AE, ；AE=A8,CP=-AB,/.CP=-BEf443t:cp/BEtMdcpsAdbe,，型=型=工，BEBD3.BD=3CD,：.BC=ICD,即型=2.故选：B.CD2. （2023.浙江九