2023-2024学年人教A版必修第二册 7-1-1 数系的扩充和复数的概念 学案.docx

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1、产复数7.1 复数的概念7.1.1 数系的扩充和复数的概念新课程标准解读核心素养1 .通过方程的解,了解引进复数的必要性数学抽象2 .理解复数的基本概念及复数相等的充要条件逻辑推理0-知识梳理读教材基础落实高效学习J七此情境导入,数的扩充过程,也可以从方程是否有解的角度来理解:因为类似x+4=3的方程在自然数范围内无解,所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数,使得类似x+4=3的方程在整数范围内有解;因为类似2x=5的方程在整数范围内无解,所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数,使得类似2x=5的方程在有理数范围内有解;因为类似W=7的方程在有理数范围内无解,所以人们引入了无理数并将有理数扩充

2、成实数,使得类似f=7的方程在实数范围内有解.问题我们已经知道,类似f=-l的方程在实数范围内无解.那么,能否像前面一样,引入一种新的数,使得这个方程有解并将实数进行扩充呢?新知初探C知识点一复数的有关概念1 .复数(1)定义:形如+/(,8R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1.复数a+b的实部是一。,虚部是b;(2)表示:复数通常用字母Z表示,即z=+6i(,R).2 .复数集(1)定义:全体复数构成的集合C=+历Ia,6R叫做复数集;(2)表示:用符号C表示.侈想一想1 .复数7+i(wR)的实部是?,虚部是i,对吗?提示:不对.2 .复数z=+bi(小b三R)可以是实数吗

3、?满足什么条件?提示:匕=0时,复数为实数.知识点二复数的分类1.复数z=+bi(,0R)可以分类如下:复数(实数(皿),I虚数(b0)(当a=。时为纯虚数).3 .集合表示:知识点三复数相等设,b,c,d都是实数,那么a+/?i=c+dio=c且b=d.提醒在两个复数相等的条件中,注意前提条件是a,b,c,dR,即当atb,c,dR时,+方=c+diuw=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.日做一做1 .已知复数Z满足z=2-i,则复数Z的虚部是()A.-2B.-1C.lD.2解析:B由题意,复数Z满足z=2-i,根据复数的概念,可得复数Z的虚部为一1.故选B.2 .在2+7,85i

4、,(1-3)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为()解析:C,(l-5)i是纯虚数,27,0.618是实数,8+5i是虚数.故纯虚数的A.0C.2B.1D.3个数为2.3 .若(-2y)i=2x+l+3i,则实数工一丁=.解析:(x-2y)i=2x+1+3i,,F+1,解得,?.*.-y=-(-2y=3,U=-I244答案:;4题型突破析典例O-技法归纳活学活用1.-.一.题型卡数的概念【例1】(1)说出下列复数的实部和虚部:一2+蓑2i,当,-3i,i,0;(2)判断N*,N,Z,Q,R,C的关系.解(1)-2+,2i,y,-3i,i,0的实部分别为一2,2,y,0,0,0;虚部分别为3

5、1,0,-3,1,0.(2)根据各数集的含义可知,N+SNSZQSRC.通性通法复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式:若z=+历,只有当,bWR时,。才是Z的实部,力才是Z的虚部,且注意虚部不是历,而是从(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分;(3)如果两个复数都是实数可以比较大小,否则是不能比较大小的.Zftl踪训练1.已知复数z=-9+3(i为虚数单位),则Z的虚部为()A.-BWC三D.-5555解析:Cz=+3的虚部为最故选C.2.设集合A=虚数,8=纯虚数,C=复数,贝JA,B,C间的关系为()A.SBSCB.B三gCC.BCADAiCB解

6、析:B根据复数的定义,复数包含虚数和实数,虚数包含纯虚数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B.题型二复数的分类【例2】当机为何实数时,复数Z=中+面-2l15)i是下列数?(1)虚数;(2)纯虚数.解当+3=0,即*5且相W3时,复数Z是虚数.(m2-2m150,mz-2m-lS0,即m=3或-2时,复数Z是纯虚数.国母题探究1 .(变设问)本例中条件不变,当Z为何值时,复数Z为实数?解:当F+30,即加=5时,复数Z是实数.2 .(变设问)本例中条件不变,当2为何值时,z0.m2-m-6解:因为z0,所以Z为实数,需满足m+3U解得机=5.m2-2m-15=0,通性通法(1)化标准式:解题时一

7、定要先看复数是否为+bi(4,R)的形式,以确定实部和虚部;(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可;(3)下结论:设所给复数为z=+8i(,b三R):Z为实数Ub=0;Z为虚数E0;Z为纯虚数Utt=O且b0.日跟踪训练1 .若复数Z=(x2-100)(工一10)i为纯虚数,则实数X=()A.-10B.1OC.100D.10或10解析:A=Z为纯虚数,.x2-100=O同时-100,x=-10,故选A.2 .若复数Z=(m+2)+(w2-9)i(机R)是正实数,则实数m=.解析:因为复数Z=(帆+

8、2)+(-9)i(mR)是正实数,由小一9=0,解得?=3或7=3,当初=3时,m+2=5RR+,符合题意;当用=-3时,m+2=1,不符合题意,所以实数?的值为3.答案:3题型三两个复数相等【例3】(1)已知(浮+7m+10)+(m2-5fn-14)i=0,求实数帆的值;(2)已知x+y一盯i=24i-5,其中x,R.求x,y的值.、iTA/口+7m+10=0,解(1)由已知得,(Jn2-5Tn-14=0,解得m=-2.(2)因为X,yR,所以x+yR,xy三R,八g于zbfy=-5,依题意,M-y=24,解得%=3,或卜工8,Iy=-8Iy=3.通性通法复数相等问题的解题技巧(I)必须是复

9、数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解;(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.Z跟踪训练1 .设,b为实数,若复数+l+抚=l+i,则()Aa=l,b=1B.=3,b=1C.=O,b=1D.=1,b=3解得卜=0,故选C.Ib=1.解析:C由+l+比=1+i可得1.Ib=1,2 .若实数x,y满足(x+y)+(1.y)i=2,则xy=.解析:由(xy)+(-y)i=2(x,yR)得=?解得F=所以孙=1.-y=O,Iy=1,答案:1随堂检测,1 .设复数Z=34i,则Z的实部与虚部的和为()A

10、.-lB.1C.5D.7解析:A由z=3-4i知实部为3,虚部为一4,故实部与虚部的和为一1.故选A.2 .已知R,若复数z=+2+i是纯虚数,则。=()A.0B.2C.-lD.-2解析:D因为z=+2+i是纯虚数,所以(标+2。=。,解得。=-2.故选D.0,3 .下列命题中,真命题的个数是()若X,yC,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;若力WR且。,则+ib+i:若Jr2+)?=。,则=y=o.A.0B.1C.2D.3解析:A由于X,yC所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,所以是假命题;由于两个虚数不能比较大小,所以是假命题;当=1,y=i时,J2+?=。成立,所以是假命题.故选A.4 .设R,l+i=+i(i为虚数单位),则=()A.-lB.0C.lD.1或一1解析:C因为aR,1+3二。+。所以有1=,a2=l,即4=1,故选C.5 .若xii2=y+2i,fyR,则复数x+yi=.x=2所以x+yi=2+i.y=1,答案:2+i

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