矢量运算(梯度、散度、旋度)与拉普拉斯算符公式整理.docx

《矢量运算(梯度、散度、旋度)与拉普拉斯算符公式整理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矢量运算(梯度、散度、旋度)与拉普拉斯算符公式整理.docx（3页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、拉普拉斯算符拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处,见。在量子力学中，其代表薛定评方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和目数：拉普拉斯算子是很奇理论的核心，并且是想拉女上同调的结果。f=v2f=VV旋度矢量化为矢量）旋度是向量分析中的一个向黄兑子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度,这个向址提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环Q的旋转轴.它和向员旋转的方向满足右手定那么.就A的环量

2、而密度（或称为环盘强度）。旋度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是向量场沿个闭合曲线的环量。如果一个向髭场中处处的旋度都是零，那么称这个场为无旋场或保守场CirCA()=/Adi环量JrcurlA)n=Iim,/Adi或TllrlA=VxAA(z.V.Z)=P(x,Uz)l+Q(x,V.ZH+R(x,v,z)k嚼g=fkiQi&Pcurl(OFbG)=acurl(F)+bcurl(GV(9F)=(V(p)xF+9xFVx(FxG)=(GV)F-(VF)G-(FV)G+(VG)FdivEradf=f=铲f.斯托克斯定理：在欧氏3维空间上的向址场的旋度的曲面积分和

3、向量场在曲面边界上的线枳分之间建立了联系。具体就是，向量算J7（nabla）表示向量微分算G】梯度（标量化为矢量）敏度（矢量化为标量）数学解择在向单:微枳分中，标愤场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标St场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。同时也可以求出变化不是最快的那个方向上的倒数，梯度点积该方向上的向量即可。散度是向量分析中的一个向母弟子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。散度描述的是向量场里一个点是会聚点还是发源点，形敦地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。物理解择考虑一座高度（1,y）点H（1,y）的f

4、3这一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。散度是通盘的体密度物理上，散度的意义是场的有源性。某一点或某个区域的散度大于零，表示向量场在这一点或这一区域有新的通量产生，小于零那么表示向量场在这一点或区域有通量源灭。散度等于零的区域称为无源场或管形场.相关概念a()=JAnds通rdivA(x)=IimJdS记法gradp=rlhA=V.AA(z,y,外=P(x,V,z)i+0(工、跖ZH+R(x,y,z)k三维直角坐标系。=（患鬻闺ACAapQ8RdlvA=VA-+而+而柱坐标WSMZ）=肛+摆，+肛IfcA=yA=/+；第+空球坐标V1.-S+浙+，血御dha=A=；卬rji)+二*线性法那么的/+MA)Of（八）Og（八）A-c,i)A+SAMA=OA=;而(Mr)+；瓯+石乘积法那么”(4)g(4)UAA)1.伸div(vjF)=Gad(9)F+3div(F),V6F)=(V9)F+9(VF).商法那么啜舄m鬻W锣高斯敢度定理：对某一个体积内的散度进行积分，定理就应该得到这个体积内的总通量.jjjdivAdv=AndSV向量场A在某个曲面的封闭边界线上的闭合路径枳分，等于A的旋度场在这个曲面上的积分/(VxA)dS=AdJJsJasBy春晓