重难点7-2圆锥曲线综合应用（7题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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1、重难点72圆推曲演综合问题圆锥曲线综合问题是新高考数学的重难点内容。常见的考点有定点、定值、定曲线、最值范围、证明及存在性问题，主要在解答题的第2问中进行考查，难度较大。在今年的高考中依旧是命题的热点方向。题型1题型2题型3题型4【题型1圆锥曲线的定值问题圆锥曲线的定点问题题型5圆锥曲线综合应用 一题型6题型7圆锥曲线的范围问题圆锥曲线的证明问题圆锥曲线的存在问题满分技巧1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）

2、：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算,并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：y=%x+。或x=点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。【例1】（2023.北京高三顺义区第一中学校考阶段练习）已知椭圆U*3=l（ab0）过点A（2,0）,且

3、离心率为;.（1）求椭圆。的方程；（2）设过点尸（LO）且斜率为的直线/与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线交X轴于点O,判断祸是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.v2MNmn【答案】（1）?+?=】；（2）扁是定值,且扁=4【变式11】（2023陕西西安校联考模拟预测）椭圆C：5+g=l（0）的两个焦点分别为6,鸟，离心率为立，R为椭圆C上任意一点，R不在X轴上，ARGE的面积的最大值为52（1）求椭圆。的方程；（2冠点尸。,-1）的直线/与椭圆C相交于MlN两点,设点8（0），求证:直线BM,BN的斜率之和+kRN为定值，并求出定值.【答案】（1）-+V

4、=I；（2）定值，-2【解析】（1）因为椭圆的离心率为,所以=g,2a2设K到耳一的距离为一,因为WF2=2C,所以S,附区=耳片Id=Cd,易得当时4RG鸟面积取得最大值，所以庆=6,因为=/一。2,所以/=4,从=1,所以椭圆C的方程为+V=；4（2）证明：如图，易知点P在椭圆外，设直线/的方程为X=切+机+1,M(XQ),N(x2,y2),Oy2=14彳导(/W?+4)V+(26+2n)y+n2+2z-3=0,X=my+m+1所以() , y1 + y2因为3（0,1）,所以,2nv + 2mm2 + 2m- 3F，y%=湛+4_2lz! k -Azl-,KBN -XX?y - L %

5、_ 苍(y -1)+X (必D1 - 1 1 11所以&BM + %/(加乃+m+l)(yT)+(明+6+1)(%T)2股通+y+)2一2一2(wy+/+1)(6)2+m+l)w2y1y2+(/+加)(y+%)+/+2？+12mm+3)(Tn-I)2rn2+2m.+4一毛“一2时22(-8-4)/2(m+3)(m-l)_2Mm+Dp-+加)+M+2,+18阳+4nr+4/M2+4【变式12】（2023.山东.实验中学校考一模）在平面直角坐标系Xo.V中，点P到点网LO）的距离比至!Iy轴的距离大1,记点尸的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；工2221(2过点/且斜率不为零的直线/交椭圆E+q

6、=1于A尸两点交曲线C于MN两点若画一网为定值，求实数，的值.【答案】(I)V=2凶+2盯(2)1=3.【解析】(I)设Pay),依题意，7(x-1)2=x+1,两边平方并整理，得)7=2M+2x,所以曲线。的方程为V=2X+2x.(2)设AaMf(,y2)fm(孙为)，Na4,%),12(公 + 1)3+ 4左2依题意，设直线/的方程为)=攵(1-1),22A+P2-琛二：VJItK3ItK、.4x,0由(1)知，y=2W+2=o,0,0)的离心率为6 ,圆0:炉+丁=2与工轴正半轴交于点A,点r(,)在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)过点T作圆。的切线交双曲线。于两点M、N,试求

7、用N的长度；(3)设圆。上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N,试判断归“尸Nl是否为定值喏为定值,求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(I)Xjv=I；(2)IMVI=4;(3)IPMHPM为定值，且IFMHPM=2【解析】(1)设双曲线C的半焦距为C,依题意，5=6,即有c=L,则=7二=L,因为点丁(应,四)在双曲线C上，则指一二1，可得。=1,则b=J=,因此，双曲线C的方程为=(2)当切线的斜率不存在时，切线的方程为X=0,此时，圆心。到直线=的距离为&,合乎题意，当切线的斜率S三时，ISffl线的方程为一0二%一应)，即入一)一亚+0=0,由题意可得=,解得&=0,此时

8、，切线方程为y=e)l2+lX=Wk=2=2/厂C联立,可得kHi,即点M(EM),联立;5,可得卜=t或卜=一,，即点N(-近，匈，因此，MN=(2+2)2+(-2-2)2=4.(3)当圆。在点P处切线斜率不存在时，点P(,0)或P(-0,0),切线方程为X=0或X=,由(I)及已知,得IzWl=PWI=近,则有归Mw=2,当圆。在点P处切线斜率存在时，设切线方程为y=H+，设点M(pm)N(W2),则有翼+=五即=2(公+1),由：22/肖去得：佯一2r+2knr+2=,2x-y=2、)2-20=42rn2-4(jt2-2)(m2+2)=82+320,由韦达定理可得N+W=-言，x1x2=

9、,而OM=(3,y),ON=(电,%),贝IOMON=xix2+yiy2=xlx2+(应+n(kx2+m)=k2+ljxx2+hn(xl+x2)w2w* 2 * 4 +2K-2i -2hn 2 -rn-z+ mk2-2m2 + 2k2 + 2-k2m2k2-2+=(:+ /W2 = O I因此。M_LON,TT在RlZOMV中，OP工MN于点Pl则NMop=-NOMP=NONP,又因为NaW=NMFO,所以，RtdPNSRtAMPO,0PPM.1lp所以,扁二扇，则IPMI网=M=2,综上得IPMHPNI为定值2.【题型2圆锥曲线的定点问题】雨后1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量X,）

10、，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于X,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。得,即l+4%2=-87,得,1十xK乙o/C所以%=1+M=-*=-圭.所以

11、A8的中垂线方程为），+：=_；1一：,即,=一：.一!82J8故的中垂线恒过点N（M.【变式21】（2023上北京东城高三景山学校校考阶段练习）已知椭圆。：5+，=1（，。0）,长轴长为4,离心率是2（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为Hk0）且不过原点的直线/交椭圆。于Ad两点，线段AB的中点为E,射线。E交椭圆C于点G,交直线x=-4于点D若OG2=ODW。耳证明：直线/经过定点，并求出定点坐标.【答案】（I）=+/=;（2）证明见解析，（TO）.【解析】（1）由椭圆UE+W=l（b0）的长轴长为4,得2a=4,即=2,crb由离心率是乎，得正史=王五=当，解得b=l,2a222所以椭

12、圆C的标准方程为+V=1.4(2)设直线/的方程为：y=kx+tkO,tO,y=j+fX：4),2=4消去)并整理得：(4公+l)f+8hx+4-4=0,=642-16(42+1)(2-1)0,即4公+1_”0,设4公)伏,当)，则+%=-送Y，乂+必=%（%+&）+2=/、，于是点, 4 + 1 4k+l直线OE的方程为） =-2X ,则点。（Y1）,由,1V = X4kx2 +4/ =416&24&2 +1142 + 116H214+42+l显然点EGD的纵坐标人,%,为同号，由IoGl2=go同得，其二%.九,因此焉彳舟解得,此时3,直线/:O过定点I。）所以直线/经过定点，该定点坐标为

13、(,0)【变式2-2 ( 2023全国.模拟预测)设动点P到定点产(4,0)的距离与到定直线/： x = 的距离之比为2 .(1)求动点P的轨迹E的方程；(2 )若。为/上的动点,A , B为E与X轴的交点,且点A在点B的左侧，QA与E的另一个交点为M , Q8与E的另一个交点为N,求证：直线MN过定点.【答案】(1 ) ?咤=1 ；( 2)证明见解析【解析】（1）设Pay），则 J（A74f + vj=2 , l-1l可得P点的轨迹方程为-7 = 1 - 4 12(2)方法一：设。：冲= x+L Ma，X), N(W,必)，Q(L%) .由题意知 A(-2,0), 3(2,0).联立：二12 ,得（3-1）丁-6噂，+3/-12 = 0 ,所以3 一IWO ,