第29讲平面向量基本定理及坐标表示（讲）（教师版）.docx

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1、第29讲平面向量基本定理及坐标表示(讲)思维导图题型1:平面向量基本定理及其应用题型2:平面向量的坐标运算平面向量基本定理及坐标表示题型3:平面向量共线的坐标表示考向1 ：利用向量共线求向量或点的坐标考向2:利用向量共线求参数忽视基底中基向量不共线致误常见误区/弄不清单位向量反向的含义致误不正确运用平面向量基本定理致误知识梳理1 .平面向量基本定理(1)定理：如果e”e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数九，ita=1e+z2e2.(2)基底：不共线的向量e,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2 .平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数

2、乘向量及向量的模：设a=(x,y),b=(42,闻，则a+b=(x+x2，y+”)，ab=(x-X2，y-y)yAa=(v11y)tIaI=也?+)彳.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设AaI，y),8(X2，”)，则4S=(X2-X1，”一)，而I=(2-)2+(y2-y)2.3 .平面向量共线的坐标表示设a=,y),b=(%2,J2),其中b0,Ma/b+OM=,AC+M.2因为M在BZ)上，不妨设ZW=Zo8=A(AB-AZ)=-A8，AC),2则AM=LAC+O=1aC+A(A3-!4C)=(1-QAC+4A8,22223因为AM=2a8+l4C

3、,7,3K=-所以17,解得1=217-(l-)=/故选：C【例1-2】（2020春密云区期末）如图，在ABC中，AN=-NC.若4N=14C,则；I的值为P34是助V上的一点，若AP=JAB+mAC,则m的值为3NB【分析】直接利用向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件的应用求出结果.【解答】解：如图：在ABCiJ,AN=-NC.3所以：AN=-AC.故；I=.44由于点5、P、N三点共线.所以BP=fPN,贝J:AP-AB=I(AN-AP),整理得：(1+)AB=AB+AC,故：AB=-AH+-AC.1+/4(1+/)所以一=1，解得r=2.1+r324x(1+2)故答案为：46【跟踪训

4、练1-1(2020黄州区校级三模)在ABC中人(7=54),七是直线班上一点，且8E=28Q,若AE=mAB+nAC,贝！Jm+=()2233A.-B.-C.-D.-5555【分析】根据题意，画出图象，可知12AE=AB+BE=AB+2BD=AB+2(D-AB)=AB+2(-AC-AB)=-AB+-AC.进而求得m和的值，算出?+的值.【解答】解：如图所示：AE=AB+BE=AB+2BD=AB+2(AD-AB)=AB+2(gAC-AB)=-AB+AC.,AE=mAB+nAC，53m+n=.5故选：D.【跟踪训练1-2】(2020春金安区校级期末)如图，已知A8=,AC=b,DC=3BD,AE=

5、2EC,则OE=()A.a+-bB.abC.-abD.a+b3412443412【分析】由图可得。E=Obc-Jac,再由bc=ac-ab,代入化简即可43【解答】解：因为OC=38O,AE=2EC,31所以OC=二BC,CE=-AC,4331由图可得DE=OC+CE=,BC-AC,43因为BC=AC-A8,则上式可得。E=(AC-A8)AC=-AC-AB=-h-a,43124124故选：D.【跟踪训练1-3】(2020春运城期末)如图，在ABC中，AC=-AD,PD=3BP,AP=AAB+ACf2则；1+的值为()7 - 9D.【分析】根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可.

6、【解答】解：由图可得1I3131231AP=AB+BP=AB+-BD=AB+-(AD-AB)=-AB+-AD=-AB+-C=-AB+-AC,444444346所以4=3,/=46则尤+=。+，=，4612故选：C.【名师指导】平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.题型2平面向量的坐标表示【例2-1】(2020黔东南州模拟)若向量AC=(1,2),AB-BC=(-1,4),则A

7、B=()A.(-1,1)B.(0,6)C.(-2,2)D.(0,3)【分析】把3C=AC-A3代入A58C可得，2A8=(A8-BC)+AC,从而求出AB.【解答】解：BC=AC-AB,:.AB-BC=AB-(AC-AB)=AB-AC+AB=2AB-AC,.2AB=(AB-BC)+AC=(-1,4)+(1,2)=(0,6),.AB=(0,3),故选：O【跟踪训练2-1】(2020春南岗区校级期末)设。M=(3,1),ON=(-5,-1),则JMN=()2A.(4,1)B.(4,-1)C.(-4,1)D.(-4,-1)【分析】可以得出IMN=J(ON-OM),然后带人OM,ON的坐标，进行向量坐

8、标的减法和数乘运算即可.22【解答】解：MN=(ON-OM)=(-8,-2)=(,-1).故选：D.【跟踪训练2-2】(2020春绍兴期末)平面向量=(1,2),6=(3,4),则+2b=()A.(5,8)B.(5,10)C.(7,8)D.(7,10)【分析】利用平面向量坐标运算法则直接求解.【解答】解：向量=(l,2),6=(3,4),/.a+2b=(lf2)+(6,8)=(7,10).故选：D.【名师指导】求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转

9、化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用.(3)妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.题型3平面向量共线的坐标表示【例3-1】(2020全国I卷模拟)，ABCO,。为原点，A(L-2),C(2,3),则5点坐标为()A.(3,1)B.(-1,-5)C.(1,5)D.(-3,-1)【分析】根据题意，由向量加法的平行四边形法则可得S=04+?,求出。4、OC的坐标，计算可得答案.【解答】解：根据

10、题意，QABCO中，有O8=OA+OC,又由A(l,-2),C(2,3),则。A=(I,-2),OC=(2,3),则O3=OA+OC=(1,2)+(2,3)=(3,1),则3(3,1)；【例3-2(2020九江三模)己知向量a=(2,l),Z=(-l,x),若伍+B)(d-b),则实数x的值为.【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出X的值.【解答】解：向量=(2,l),=(-l,x),所以+b=(l,l+x),-/=(3J-x)；y,(d+b)/(a-b),所以3(l+x)-lx(l-X)=0,解得一L2故答案为：.2【跟踪训练31】(2020广州二模)已知向量=(NT),=(-

11、4,2),若与5共线,则实数A的值为.【分析】根据题意，由向最共线的坐标表示公式可得M=(T)X(-4)=4,解可得Z的值，即可得答案.【解答】解：根据题意，向量4=化T),6=(-4,2),若4与b共线，则有2Z=(T)x(Y)=4,解可得A=2：故答案为：2.【跟踪训练3-2】(2020河南模拟)已知向量=(-2,l),b=(4,3),C=(T,4),若(+b)c,则4=.【分析】根据题意，用坐标表示出+6,根据两直线平行的坐标表示列式子计算即可得答案.【解答】解：由题,o+=(2,4),c=(-1,2),.(a+b)/Ic,.2%=T,=-2.故答案为：-2.【跟踪训练33】(2020春

12、山西月考)已知向量A=(5,10),AC=(m,9),CD=(3,-2),若A,B,D三点共线，则机=.【分析】推导出Ao=AC+CO=(肛9)+(3,-2)=(3+?,7),ABUADt由此能求出【解答】解：.向量A=(5,10),AC=(m,9),CD=(3,-2),.AD=AC+CD=(?,9)+(3,-2)=(3+肛7),AfB,。三点共线，AB/AD,.57=10(m+3),解得“2故答案为：-2【跟踪训练34】(2020春乐山期中)己知平行四边形ABC。的顶点A(-l,-2),B(3,-l),C(6,7),则顶点O的坐标为.【分析】由平行四边形ABC。得函=丽，根据向量相等求。点坐标.【解答】解：设ZXx,y),由已知而=而，即(-6,y-7)=(-l-3,-2+1),所以x=2,y=6.故答案为：(2,6).【名师指导】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a=(x,y),b=(x2,力)，则ab的充要条件是XIy2=x2y1”解题比较方便.