13全等模型-倍长中线与截长补短模型（教师版）.docx

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1、专题13全等模型.倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型L倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【常见模型及证法】1、基本型：如图1,在三角形A8C中，力。为8C边上的中线.证明思路:延长AD至

2、点E,使得AD=DE.若连结BE,则BDE=CZM；若连结EC,则ABD=ECD；图1图2图32、中点型:如图2,C为AB的中点.证明思路：若延长Ee至点尸，使得CF=EC,连结A尸，则ABCE3A4CF；若延长DC至点G,使得CG=DC,连结BG,则A4CZ）=A8CG3、中点+平行线型：如图3,ABHCD,点E为线段Ao的中点.证明思路：延长CE交AB于点尸（或交8A延长线于点尸），则AEDC=AEAf.例1.（2023江苏徐州模拟预测）（1）阅读理解：如图，在.ABC中，若A8=8,AC=5,求BC边上的中线AO的取值范围.可以用如下方法：将aACD绕着点。逆时针旋转180。得到在ZA即

3、中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图，在二A8C中，。是8C边上的中点，DElDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点尸，连接小，求证：BE+CFEF;（3）问题拓展：如图，在四边形A8C3中，ZB+ZD=180o,CB=CD,ZBCD=KX）0,以。为顶点作一个50。的角，角的两边分别交AB、Ao于E、F两点，连接7L探索线段BE,DF,E产之间的数量关系，并说明理由.313【答案】（1）-AD-（2）见详解：（3）EF=BE+DF,理由见详解22【分析】（1）根据旋转的性质可证明-ADC=EtW,AC=BE=6,AD=ED,在AHBE1中根据三角形

4、三边关系即可得出答案；（2）延长FD至M,使DF=DM,连接BM,EM,可得出b=8M,根据垂直平分线的性质可得LliEF=EM，利用三角形三边关系即可得出结论；（3）延长AB至N,使BN=DF,连接CN,可得/NBC=NO,证明,NBCFDC,得出CN=CF,/NCB=ZFCD,利用角的和差关系可推出NECN=50。=成产，再证明一NCE三尸CE,得出硒=EF,即可得出结论.【详解】解：（1）田AD=ED,CD=BD,ZADC=NBDEADC=iEDBAC=BE=SyAD=ED在AABE中根据三角形三边关系可得出：AB-BEAEAB+BE,即32AD133133130?A0U故答案为：2ad

5、EMBE+CFEF；(3)EF=BE+DF,理由如下：延长AB至N,使BN=DF,连接CN,团ZABC+ZD=I80o,ZABC+ZNBC=1800团ZNBC=ZD0.NBCN工FDC团CF=CN,ZNCB=/FCD0/BCD=100。,AFCE=50团AECN=50=ECFNCEFCE(SAS)国EN=EFEF=EN=BE+BN=BE+DFEF=BE+DF*【点睹】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图中结构相关的图形.此题结构精巧，考查范围广，综合性强.例2.(2023贵州毕节二模)课外

6、兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,SABC中，若A8=5,AC=3,求BC边上的中线4。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长4。到点E,使OE=AO,请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.(2)如图2,AO是MBC的中线，BE交AC干E,交4。于F,KAE=EF.请判听AC与BF的数量关系，并说明理由.【答案】见解析AC=BR理由见解析【解析】(1)解：如图，延长AD到点E,使OE=A。，连接BE,AD=DE在4/)C和AKQB中卧NAoC=NE08,0DO3ED(SAS).BE=AC=3.CD=DBAB-BEAEAB+BE2AE3.0E=2AD01D,连

7、接MC在-8Z)户和VCoM中，Z.BDF=CDM,ABDFACDM,中MC=BF,ZM=ZBFM,DF=DMAE=EF,国ZEAF=ZEFA,BNEFA=ZBFM,0Z=ZM4C,SAC=MC,AC=BF.(2)线段。尸与AO的数量关系为：AD=IDF.证明如下：延长。八至点M,使止=EW,连接BM、AM,如图2所示：回点尸为BE的中点，团BF=EFBF=EF在-BFM和AEFD,/BFM=NEFD,0ABFMEFD(SAS)FM=DF国BM=DE,ZMBF=ZDEF,BBM/DE由线段8绕点。逆时针旋转120。得到线段OE国CD=DE=BM,NBOE=I20。，0MBD=180-120=6

8、0况.ABC是等边三角形团AB=AC,ZABC=ZACB=60,0ABM=ABC+ZMBD=60+60=1200ZACD=180o-ZACT=180-60=120,用ZABM=ZACDAB=AC.ABM和ZXACDtP,团,Z.ABM=NACD,MABMWzACD(SAS)BM=CD0M=AD.ZBAM=ZCAd,0ZMAD=ZMAC+ZCAD=ZMAC+ZBAM=ZBAC=6()0团AMD是等边三角形，AD=DM=2DF.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键.例4.（2022河南商丘一模）阅读材料

9、如图1,在HABC中，。，E分别是边A8,AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长OE到点尸，使EF=DE,连接C凡证明HAOKaSCFE,再证四边形。8CF是平行四边形即得证.类比迁移：如图2,A。是（MBC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F,JAE=EF,求证：AC=BF.小明发现可以类比材料中的思路进行证明.证明：如图2,延长A。至点M,使MO=PQ,连接MG.请根据小明的思路完成证明过程.方法运用：如图3,在等边0A8C中，O是射线BC上一动点（点。在点C的右侧），连接AZX把线段8绕点。逆时针旋转120。得到线段尸是线段3E的中点，连接

10、。凡CF.请你判断线段。尸与AO的数量关系，并给出证明；【答案】（1）见解析线段。片与AO的数量关系为：AD=2DF,证明见解析；【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论.（2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论.（1）证明：如图，延长AO至M,使MO=尸。，连接MGBD=CD在BDF和由COM中，0-/BDF=NCDM,DF=DM盟BDW团CDM（SAS）fMC=BF,0=0Ff,AE=EF,00EF=0EM,阖E硒=BFM,mW=SAC,IMC=MC,HAC=3尸；（2）解：线段。尸与A。的数量关系为：AD=IDF,证明如下：延长。尸至点M

11、,使OF=F连接BM、AM,如图所示：团点尸为BE的中点，WF=EF1BF=EF在团6尸M和团尸。中，团(NBFM=NEFD,BFMEFD(S4S),FM=DFBBM=DE,BMBF=BDEf,BWE,团线段Co绕点。逆时针旋转120得到线段E,CD=DE=BM,BDE=120,BD=180-120=60,函48C是等边三角形，08=AC,0A8C=aAC8=6O,00AB/=0AC+0fD=60o+60o=120%ACD=I80-I3ACB=180o-60o=120o,ABM=ACD,AB=AC在0A8M和BACO中，团NABM=ZACD,酿ABMACD(SAS)fBM=CD0AM=AO,g

12、BAM=I3CAD,133MAD=f3MAC+f3CAD=l3MAC+l3Af=AC=60o,三3M。是等边三角形，AD=DM=2DF;【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上,综合运用相关知识是解题的关键.模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)。截长：指在长线段中截取一段等于己知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。【常见模型及证法】(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：如图，求证BE+DC=AO方法：在A。上取一点凡使得AF=BE证。F=OC;在4。上取一点尸，使OF=OG证AF=BE（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+。C=AO方法：延长OC至点M处，使CM=BE,证OM=A。；延长DC至点M处，使OM=A。，证CM=BE例1.（2023重庆