《05三角形中的导角模型-双角平分线(三角形)模型(教师版).docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《05三角形中的导角模型-双角平分线(三角形)模型(教师版).docx(33页珍藏版)》请在优知文库上搜索。
1、专题05三角形中的导角模型.双角平分线(三角形)模型模型1、双角平分线模型D两内角平分线的夹角模型条件:如图1,在0ABC中,SABC和0AC8的平分线BE,CF交于点G;结论:NBGC=90。+;NA.2)两外角平分线的夹角模型条件:如图2,在MBC中,BOtCo是(3ABC的外角平分线;结论:ZO=90o-ZA.3)一个内角一个外角平分线的夹角模型4)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件:如图4,BP、CP平分0A8C、BDCB,两条角平分线相交于点P;结论:2NP=NA+NI5)两内角平分线的夹角模型条件:如图5,BP.OP平分MC。、0CDE,两条角平分线相交于点P;结论:2ZP=ZAZ
2、B+ZE-180o6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件:如图6,Z4=a,NA5GNA8的平分线相交于点片,的平分线相交于点名,ZP2BCtNECZ)的平分线相交于点鸟以此类推;结论:/匕的度数是7)旁心模型旁心:三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例1.(2022秋安徽阜阳八年级统考期中)如图,在/8C中,点产是C内一点,且点P到8C三边的距离相等,若NBPC=I24。,则NA=.【分析】由条件可知8尸、CP平分NABC和/AC8,利用三角形内角和可求得2A.【详解】解:点P到JSC三边的距离相等,8尸平分/A8C,CP平分/AC8,/.ZA=I80。一(
3、ZA8C+ZAC8),=180。-2(NPBC+NPCB)=180o-2(l80-NBPC)=180。-2x(180。124。)=68。故答案为:68.【点睛】本题考查角平分线的性质与判定,掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键.例2.(2022湖北十堰八年级统考期末)如图,在五边形ABCDE中,NA+N8+NE=4,DP,CP分别平分乙EDC、/BCD,则NP的度数是.【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解.【详解】解:Ia五边形的内角和为(5-2*180。=540。,0ZEDC+ZBCD=540o-a,团OP,CP分别为NEDC、/8CD的平分
4、线,ZPDC=-ZEDCtAPCD=-ABCD,220ZPDC+ZPCD=;(NEDC+/BCD)=(540o-a),0ZP=18Oo-(54Oo-a)=a-9Oo,故答案为:a-90o.【点睛】本题考查了多边形的内角和公式,牢记边形的内角和为(-2)x180。是解题关键.例3.(2023山东济南校考模拟预测)如图1,在ZVlBC中,MAC的平分线AO与mBCA的平分线CE交于点。.求证:0AOC=9(r+;3A8C;(2)当A3C=90。时,且A0=30D(如图2),判断线段AE,CD,AC之间的数量关系,并加以证明.【分析】(1)BBC+0CA=18Oo-aABC,根据角平分线定义求出EI
5、OAC=L团SAC,OCA=-BBCA,即可22求出(30AC+m0。4的度数,根据三角形内角和定理求出即可;(3)在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,证aAEO0S1AMO,ADCCmNCO,推出OfZM=ElMOA,CON=COD,OD=ON,求出(WON=(WOA=45。,根据角平分线性质求出MK=ML据此计算即可求解.【详解】(1)证明:(30ABC+3ACMfiAC=180o,S3BC+0CA=18Oo-l3ABC,团比例。的平分线Ao与BBCA的平分线CE交于点O.WOAC=-WAC,OCA=-BCA,2200OAC+G1OC=-(0C+0C4)=
6、-(180o-ABC)=90o-SlABC,22200A6C=18Oo-(0OAC+0OCA)=180o-(90o-0ABC),即财0。=900+,凶8。;224(2)解:-E+CD=ACf证明:如图2,00AOC=9O0+-0C=135o,团团KoA=45,2在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,AE=AM则在0AEO和MMo中,,ZEAO=ZMAO,00AEOT0AMO,AO=AO同理团Z)CO013NC0,EOA=QiMOA,0COV=0COD,OAON,豳EOA=团MOA=同CoN=回COZ)=45,配MoN=IWOA=45,过M作MKM。于K,M0ON
7、于L,SR)M_AMAOAM八八C03AOAM3、4,4,广0-=7777,团=,AO=3OD,团=,=-,0A/V=AM=AEfSAwNMNonMNOD1ONMN334AN+NCMC,-AE+CD=AC.更多资料添加微信号:DEM2008淘宝搜索店铺:优尖升教育网址:【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,角平分线定义和性质,三角形的面积,三角形内角和定理的应用,熟练掌握各性质定理是解答此题的关键.例4.(2023秋成都市八年级专题练习)如图,在JIBC中,4=58。,三角形两外角的角平分线交于点E则NAEC=【答案】6【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得睨C+0AC/的度数,再
8、根据角平分线的定义求得(3EAC+13EC4的度数,即可解答.【详解】解:00+0BC+0C4=18Oo,28=58,三AC+0C=18Oo-0B=18Oo-58o=122o,00AC+0DAC=18Oo,0CA+l3CF=18O00D4C+QACF=36Oo-(BAC+0BCA)=360o-122o=238o,E平分团DAC,CE平分SAC/,EAC=DAC,0EC4=ySACF,00EAC+0ECA=y(0DAC+0ACF)=119o,0EAC+0EG4+0AEC=18O00AfC=18Oo-(0EAC+0ECA)=180o-119o=61o,故答案为:6.【点睛】本题考查三角形的内角和定
9、理、角平分线的定义、平角定义,熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键.例5.(2023湖北八年级专题练习)如图,已知在ABC中,NB、/C的外角平分线相交于点G,若ZABC=nf,ZACB=no,求NBGC的度数.【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可.解答过程中要注意代入与之有关的等量关系.【详解】解:(3B、I3C的外角平分线相交于点G,在ABCG中,EBGC=180o-(y0EBC+0BCF)=180-;(0EBC+SBCF)=180J(18O,-0ABC+18Oo-0ACB)=180o-(180o-mo+180o-n);=g(i+)【点睛】本题考查的是三角形内角和定
10、理以及角平分线的知识.此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出.例6.(2023辽宁葫芦岛八年级统考期中)如图,C分别平分0ACE、0A8C,0A=7O。,则MoC=()A.35B.25oC.70oD.60【答案】A【分析】根据角平分线的定义可得回CBO=0A8C,团。CE=T财再根据三角形的一个外角等于与它不相部的两个内角的和可得0DCE=IW+iaC80,aACE=0A+ABC,然后整理求出0D=SA.【详解】解:团C。、BO分别平分SACE、BABC,CBD=ABC,团。CE=TaACE,由三角形的外角性质得,回OCE=团D+团CBr,0ACE=0A+MBC,三D+0CBD=y(
11、0A+0C)00D=ySA,00A=7O,B0D=y7Oo=350.故选:A.【点睹】本题考查了三角形的外角性质,角平分线的定义,注意整体思想的利用是解答的关键.例7.(2022秋八年级课时练习)如图,BA和CA分别是.C的内角平分线和外角平分线,%是NAtBD的平分线,C4是NAC。的平分线,B4是。的平分线,C是N&C。的平分线以此类推,若NA=,则NA202O=.【分析】根据角平分线的定义可得0C4A8C0ACD=0ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得IMCo=0A+0ABC,SlAfCD=SA/BC+I3A/,整理即可得解NA=3乙4,同理求出财2,财3,可以
12、发现后个角等于前一个角的今,根据此规律即可得解.【详解】0出是MBC的平分线,AQ是0AC的平分线,酗VBC=WsA8C,ACD=BACD,又00ACO=a4+0ABC,0ACD=HL4C+0A,13;(0A+0ABC)=yABC+A/,00A=-0A,00A=.0A=0A=a,同理可得0A2=!团A=ra,2222-CfCl根据规律推导,团/&。2。=&,故答案为晟.【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质,角平分线定理,熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分线的定义是解题的关键.例8.(2023春成都市七年级课时练习)如图在团ABC中,BO,CO分别平分团ABC,El
13、ACB,交于0,CE为外角0ACD的平分线,交BO的延长线于点E,记N84C=N1,BEC=Z2,则以下结论Nl=2/2,(2)/BOC=3X2,(3)ZOC=90+Zl,NBOC=90。+N2,正确的是.(把所有正确的结论的序号写在横线上)【答案】【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质,即可得到m1=2132,13BoC=90。+Tg1,国BoC=90+团2,再分析判断.【详解】回CE为外角0ACD的平分线,BE平分团ABC,BBDCE=yACD,DBE=yABC,又前DCE是团BCE的夕卜角,002=0DCE-0DBE=(ACD-0ABC)=yl,故正确;0BO,CO分别平分团ABC
14、,0ACB,000BC=JABC,0CB=y3ACB,00BOC=18Oo-(BOBC0OCB)=180o-(0ABC+0ACB)=180-;(18Oo-01)=90o+-l,故、错误:团OC平分0ACB,CE平分0ACD,B0ACO=yACB,团ACE=T团ACD,00OCE=y(0ACB+0ACD)=-180=90配IBOC是国CoE的外角,03BOC=BOCE+02=90+02,故正确;故答案为:.【点睹】本题考查了三角形的内角和定理,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,以及角平分线的定义.例9.(2023秋广东佛山八年级校考期末)(1)如图1所示,在JWC中,/A3C和NACB的平分线将于点O,则有NBoe=90。+(44,请说明理由.(2)如图2所示,在JlBC中,内角的平分线/A8C和外角/A8的平分线交于点O,请直接写出/30C与/84C之间的关系,不必说明理由.(3)如图3所示,AP,BP分别平分NcAO,NCBD,则有./=3(/。+/。),请说明理由.(4)如图4所示,AP,82分别平分NaM,NCBD,请直接写出NTJ与/C,之间的关系,不必说【分析】根据OB是团ABC的角平分线,OC是团ACB的角平分线,利用三角形的内角和等于180。即可得出结果;(2)根据OB是团ABC的角平分线,OC是团ACD的角平分线,利用三角形的外角性质即可得出结