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1、求轨迹方程的常用方法(一)求轨迹方程的一般方法:1 .待定系数法:如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,那么可先设出轨迹方程,再根据条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法。2 .直译法:如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。3 .参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,那么可寻求幽动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立P点坐标X,y与该参数t的函数关系x=
2、f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=Oo4 .代入法(相关点法):如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的,而该点的运动规律,(该点坐标满足某曲线方程),那么可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P的坐标,然后把P的坐标代入曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程。5 .几何法:假设所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等),可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单。6:交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这灯问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(假设能直接消去两
3、方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用。(二)求轨迹方程的考前须知:1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。来表示,假设要判断轨迹方程表示何种曲线,那么往往需将参数方程化为普通方程。3 .求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解那么要舍去,出现丢解,那么需补充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形。4 .求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课
4、前热身:1.P是椭圆二+2L=I上的动点,过P作椭圆长轴的垂线,垂足为M,那么PM中点的轨迹中点的轨迹方程为:()【答案】:B42V2tX242,X2V21X2V2A、-X2+=1B、一+-y2=1C、一+=1D、一+9595920365工24C【解答】:令中点坐标为(x,y),那么点P的坐标为(x,2y)代入椭圆方程得5+不:/=1,选B2.圆心在抛物线V=2x(y0)上,并且与抛物线的准线及工轴都相切的圆的方程是AX2+y2-x-2y-=0Bx2+y2+x-2y+l=OCX2+y2-x-2y+l=0Dx?+/一%一2),+_L=O【答案】:D4【解答】:令圆心坐标为(烂,),那么由题意可得
5、,解得。=1,那么圆的方程为222Y+y2_l_2y+L=0,选D43:一动圆与圆0:Y+丁=1外切,而与圆c:2+y2-6+8=0内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支【答案】:D【解答】令动圆半径为R,那么有+那么MO-MC=2,满足双曲线定义。应选D。IMeI=R-I4:点P(xo,yo)在圆2+y2=l上运动,那么点M(2xo,yo)的轨迹是()A.焦点在X轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在X轴上的双曲线【解】:令M的坐标为(Xy),那么I=1=5代入圆的方程中得二+/=1,选人y=y。v-v4yo-y名师点题一:用定义法
6、求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用,只要动点满足曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得出方程。例1:A8C的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin3+sinA=WsinC,4求点C的轨迹。【解析】由sin3+sinA=2sinC,可知+C=I0,即IACl+1BCI=I(),满足椭圆的定义。442222令椭圆方程为二十二=1,那么=5,c=4=A=3,那么轨迹方程为二+
7、-=1(x5),/b2259图形为椭圆(不含左,右顶点)。【点评】熟悉一些根本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。(1) 圆:到定点的距离等于定长(2) 椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)(3) 双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)(4) 到定点与定直线距离相等。【变式1】:1:圆(x+4)=25的圆心为此,圆6-4)2+尸=1的圆心为以一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。解:设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:PM=R+5,PM2=R+1o.,PM1-5=PM2-LPM1-PM21=4。动圆圆心P的轨迹是以此、此为焦点的双曲线的右支,c=
8、4,a=2,b2=12o2:一动圆与圆0:/+),=1外切,而与圆C:/+6x+8=0内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支【解答】令动圆半径为R,那么有PMR+1,那么M0-MC=2,满足双曲线定义。应选D。二:用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2:一条线段AB的长等于2,两个端点A和8分别在X轴和),轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程?解设M点的坐标为(x,y)由平几的中线定理:在直角三角形AoB中,lsOxOM=-AB=-2a=a,22M点的轨迹是以。为圆心,。为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=LAB这一等量关系是此题成功的关键所在。一
9、般直译法有以下几种情21)代入题设中的等量关系:假设动点的规律由题设中的等量关系明显给出,那么采用宜接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2)列出符合题设条件的等式:有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条件列出等式,得出其轨迹方程。3)运用有关公式:有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即得其轨迹方程04)借助平几中的有关定理和性质:有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】:动点P(x,y)到两
10、定点A(-3,0)和8(3,0)的距离的比等于2(即四=2),求IPBl动点P的轨迹方程?解答F=Ja+3)2+/JQBI=J(X_3)2+/代入四1二2得鹿+3)二=2n(x+3)2+y2=4。-3)2+4y2IPBl(-3)2/化简得(-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆.三:用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的取值范围。例3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线L,I2,假设L交X轴于A点,L交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线h引发的
11、,可设出L的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x,y)满足的参数方程。解法1:设M(x,y),设直线L的方程为y4=k(-2),(kO)YM为AB的中点,消去k,得x+2y5=0。另外,当k=0时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程;当k不存在时,AB中点为M(1,2),也满足上述轨迹方程。综上所述,M的轨迹方程为x+2y5=0。分析2,解法1中在利用kh=-1时,需注意k1、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢?只需利用aPAB为直角三角形的几何特性:解法2:设M(x,y),连结MP,那么A(2x,0),B(0,2y),Vb12,ZXPAB为直角三角形化简,得x+2y-5=0,此
12、即M的轨迹方程。分析3:设M(x,y),由11_112,联想到两直线垂直的充要条件:klk2=-l,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上,由M为AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系。解法3,设M(x,y),TM为AB中点,JA(2x,0),B(0,2y)。又Ii,b过点P(2,4),且11112,-4-04-2vPAPB,从而kpkB=-1,而ZPA=,女配=-2-2x2-0注意到L_LX轴时,b_Ly轴,此时A(2,0),B(0,4)中点M(L2),经检验,它也满足方程x+2y5=0综上可知,点M的轨迹方程为x+2y5=0。【点评】1)解法1用了参数法,消参时应
13、注意取值范围。解法2,3为直译法,运用了kpkPB=-l,IMPl=gA8这些等量关系。用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O:2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一:“几何法”设点M的坐标为(x,y),因为点M是弦BC的中点,所以OM_LBC,所以IOMl2MA2=OA2,(2+y2)+(x4)2+y2=16化简得:(x2)2+y2=4由方程与方程2+y2=
14、4得两圆的交点的横坐标为1,所以点M的轨迹方程为(-2)2+y2=4(OWXV1)。所以M的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆在圆O内的局部。解法二:“参数法”设点M的坐标为(x,y),B(x),C(x2,y2)直线AB的方程为y=k(-4),由直线与圆的方程得(l+k2)x2-8k2x+16k2-4=0(*),由点M为BC的中点,所以X=J+/=-l于(1),又OM_LBC,所以k=2(2)由2+kX方程(2)消去k得(X2)2+y2=4,又由方程(*)的()得k2.所以XVI.所以点M的轨迹方程为(X-2)2+y2=4(Oxl)所以M的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆在圆O内的局
15、部。四:用代入法等其它方法求轨迹方程V2v2例4.点B是椭圆0+2=1上的动点,力(2,0)为定点,求线段AB的中点M的Crb-轨迹方程。分析:题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点B的运动是有规律的,显然U的运动是由B的运动而引发的,可见M、B为相关点,故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(xo,yo)那么由M为线段AB中点,可得即点B坐标可表为(2x2a,2y)【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如下图,P(4,0)是圆f+)2=36内的一点,A、3是圆上两动点,且满足NAPB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.【解析】:设48的中点为R,坐标为(Xj),那么在RtZXABP中,AR