正交矩阵的性质和应用.docx

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1、摘要(关键词)1Abstract(Keywords)11前言12正交矩阵的性质13正交矩阵的相关命题34正交矩阵的应用54.1 正交矩阵在解析几何上的应用64.2 正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用74.3 正交矩阵在物理学中的应用95后记10参考文献10致谢11关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大局部都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学

2、、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用AbstracttOrthogonalmatrixisakindofspecialmatrixinmathematics.Meanwhile,italsohassomeveryspecialpropertiesanditiswidelyused.Alpresent,therearemanyliteraturesaboutorthogonalmatrix,butmostofthemareaboutthepropertiesoforthogonalmatrix.However,theapplicationoforthogonalmat

3、rixisseldommentioned.Themaintaskofthispaperistoinducethepropertiesoforthogonalmatrixandexploretheapplicationsofitinanalyticgeometry,topology,approximatealgebraandphysicsbyusingthedefinitionoforthogonalmatrixandutilizingthepropertiesofmatrixanddeterminantasthemaintool.Keywords:Orthogonalmatrix;determ

4、inant;property;application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨具有非常重要的意义。而这篇文章就是针对正交矩阵所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学根底及力学领域的一系列应用。2正交矩阵的性质本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域P上的矩阵，用尸X表示数域尸上阶方阵的集合，用E

5、表示单位矩阵，用图、A-A*、分别表示矩阵A的行列式、逆矩阵（当A可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵.定义2.1阶实矩阵A,假设有AA=E，那么称A为正交矩阵.等价定义1：阶实矩阵A,假设有AAf=Ef那么称A为正交矩阵；等价定义2:阶实矩阵A,假设有Az=A-,那么称A为正交矩阵；等价定义3:阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，那么称4为正交矩阵.性质2.1A为正交矩阵，那么其行列式的值为1或证明：由正交矩阵的定义知，AN=石两边同取行列式，得IAH=I4=1,又由于IAI=MI，那么网I即网=1性质2.2A为正交矩阵，A的任一行（列）乘以-1得到的矩阵仍为正交矩阵.证明：设A=,月

6、血,月），其中片,力,血,凡是A的单位正交向量组.显然片,（-万）,4.,月也是4的单位正交矩阵，那么由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.3A为正交矩阵，A的任两行（列）互换得到的矩阵仍为正交矩阵.证明：设A=伉,4血,0）其中外,力,血,也是A的单位正交向量组.显然月,月,力,也是A的单位正交矩阵，那么由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.4A为正交矩阵，那么A、A、A*也是正交矩阵.证明：（Al）A=（八）TA1=（AA）T=1-I=E.a为正交矩阵,（W）A=AA,=E.A，为正交矩阵，（人*）7*=（曲L）97=网（必447=同23以7=&.A”为正交矩阵.性质2.5A为正交矩阵,那

7、么An也是正交矩阵.证明：4为正交矩阵，那么4=AT,（A）=（Ay=（AT）=（AM）T,由正交矩阵的等价定义2知，A为正交矩阵.性质2.6A、8均为正交矩阵,那么它们的积AB也是正交矩阵.证明：A、8为正交矩阵，A=A-I*=由于（）=BW=BMAT=（AB）T,由正交矩阵的等价定义2知，AB为正交矩阵.性质2.7A、B均为正交矩阵,那么Af（A3）也是正交矩阵.证明：A、B为正交矩阵，A=AIB,=BI由于（A8j=（4）=8T（A）=3T（八）T=（AB尸所以48为正交矩阵.证明同上.性质28A、8均为正交矩阵,那么ATB（ABT）也是正交矩阵.证明：A、B为正交矩阵，Az=-1,Bf

8、=B由于（Ag）=j=BA=BT（A丁=（4一切广，所以ATB为正交矩阵.Ab证明同上.性质29A、8均为正交矩阵,那么ATBA也是正交矩阵.证明：4、8为正交矩阵，A=ALB=BT由于（ATBA）=A9（AT）=ATBZ=ATB1（AT/=（a,Ba）1所以A1BA为正交矩阵./0、性质2.10A、8均为正交矩阵,那么也是正交矩阵.iUH）f证明：4、B为正交矩阵，4lE=H,由于（A1=（A，l=fA，0L（0B）（0B,）k0BU（A0Y1rr,t,（AO-。M所以。M为正父矩阵性质2.11A、8均为正交矩阵,那么七（，rJ也是正交矩阵.证明：A、8为正交矩阵，Az=A-,B=B-,那么

9、有正(一4A,J2k-AJ2kO2A,aOA,AE)结论二丁）为正交矩阵成立.性质2.12A为正交矩阵，4是A的特征值，那么?也是A的特征值.A证明：人为正交矩阵，有H=A-I那么有|麻一=（花A）=plEA=plE-A=L4-1A-Al=A-lL4-E=-A-,-E-A2rt=-2A-,-E-A,那么；是A的特征值，那么;也是A的特征值.性质2.13A为正交矩阵,它的特征值为1,并且属于A的不同特征值的特征向量两两相互正交.证明：设丸为A的特征值，是A的属于特征值/1的特征向量，Az/=%,两边同时取转置得，A=4,所以AAT7=%77%7=石/，因为A为正交矩阵，所以AA=日而力w,那么;

10、l?=l,BP2=+1.另外，设彳是A的属于特征值，的特征向量.由于=Ag=AA=E可得,=(,A!A)=(Arj)=rj)=,所以(1-办),=0,又XW，因此可W=22=1,那么2=0,即与。正交.性质2.14A为上（下）三角的正交矩阵，那么矩阵A必为对角矩阵，且对线上的元素值为1证明：设A为上三角的正交矩阵，那么Al必为上三角矩阵且A-=4,因此A为对角矩阵.又由于AN=E,那么矩阵A的对角线上的元素为1.性质2.15A为正交矩阵，那么矩阵A的一切2阶主子式之和与一切相应A阶主子式之和或者相等或互为相反数.性质2.16A为阶正交根底循环矩阵，那么矩阵A的全部特征根为实根，并且是个次单根.

11、rO100、0010证明：设A=为根底循环矩阵可知A的特征多项式为0001J000f（x）=xE-A=xn,那么它的特征根为玉=COS竺+isin竺4左=1,2,故xzl为nn次单根.3正交矩阵的相关命题命题3.14、B为正交矩阵，如果,E+A3为反对称矩阵，那么A+8也是正交矩2阵，（a+b）1=a,+b,.证明：由于A、B为正交矩阵，那么A=A”,9=8,2E+A8为反对称矩阵，2那么(A + B)a+B) = (A, + B,A + B)= A,A + A,B + B,A + BB = E +2)l2)因此A+B为正交矩阵.(A+),=(A+)=A,+B,.命题3.2A、B为正交矩阵，且

12、IAl=-同，那么A+3不可逆.证明：由于4、8为正交矩阵，那么A,A=E,BB=E,又因为A+=AB,B+AAB=B,+AzB=IA(A+B)B=-A2(A+B)=-A+B,那么A+B=-A+B,得A+B=O,因此A+3不可逆.命题3.3A、3为奇数阶的正交矩阵，且IAI=I卸，那么A-8不可逆.证明：由于4、8为正交矩阵，那么有AA=E,B,B=EfA-B=AB,S-AA,=忸AliBI=W忸-出=忸_H=(TyIA耳，由于A、5为奇数阶,那么口一却=TA-即，即IA-BI=O,因此A-8不可逆.命题3.4A、8为奇数阶的正交矩阵，那么(A+3)(A-B)必不可逆.证明：由于A、8为正交矩

13、阵，那么有A,A=E,B,B=Ei(a-bXa+b)=a-ba+=A,-B,A+B=I(H-&)(A+B)=A,+A,B一B,A-,B=A,B-BZI=(-l)B,A-A,B=(-l)nBfA-B,B+AZ-A,B=(一1)(4B,A町=(一1)IA+B,-B=(-1),A+-B=(一1)(A+0(A-8),由于A、8为奇数阶的矩阵，那么+bXA-8=0,即(A+8)(A8)必不可逆.命题3.5A为正交矩阵，且同=7,那么4+E不可逆，且1为A特征值.证明：因为IH=-1知，|川=-闽，由定理3.2.1知，A+E=0,故A+E不可逆.又A+E=0,故-E-=(y忸+a=0,所以_1为A特征值.

14、命题3.6A为奇数阶正交矩阵，且IAl=1,那么A-E不可逆，且1为A特征值.证明：因为同=1知，网=|目，由定理3.2.1知，IA-EI=O,故A-E不可逆.又A-E=0,E-=(-l)-E=0,所以1为A特征值.命题3.7A为对称矩阵，B为反对称矩阵，A、8可交换，A-8可逆，那么(A+B),(A-B)S(A+B1A-B),都为正交矩阵.证明：由题意知AB=8A,那么(A+B)(A-3)=A2-A8+84-82=(a-bXa+B),因为A-B可逆，那么A+8也可逆.即(A-(A+B),(A+B)T(A-8)(A+B)T(A-B)(A+),(A-)=(+BA+),(-Bl(A-B)=Ef那么(4+3广(4一3)为正交矩阵.同理可证(A+BXA-5尸也为正交矩阵.命题3.88为反对称矩阵，那么(E+8)(石-5)及(石+欧石-3尸都为正交矩阵,并且其特征值不为-1.证明：E为对称矩阵，B为反对称矩阵，那么由定理3.3知(E+3)T(E-B)及(E+bXE-B都为正交矩阵.由于反对称矩阵的特征值只为零或纯虚数，因此3的特征值不是1.那么IE-BIWo,庐+可=(一1升一E-耳工O,因此6可逆，由于(E+3尸(f3)及(E+bXE-3尸都为正交矩阵，令A=(E+3尸(1一3)