椭圆各类题型分类汇总.docx

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1、椭圆经典例题分类汇总1 .椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为A(2Q),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.X2V21例2椭圆鼻+与=1的离心率6二；,求A的值.k+8922 2例3方程三十二=T表示椭圆，求A的取值范围.k-53-k例42sin0-)，2cos0=l(0%)表示焦点在y轴上的椭圆，求1的取值范围.例5动圆尸过定点A(-3,0),且在定圆以(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.2,焦半径及焦三角的应用2 ,2例1椭圆上十三=1,6、K为两焦点，问能否在椭圆上找一点M,使M到左43一准线/的距离|仞川是用与IME的等比中项？假设存在，那么求出

2、点”的坐标；假设不存在，请说明理由.例2椭圆方程二十1=1QZ,O),长轴端点为ab点为人，F2,尸是椭圆上一点，ZAiPA2=O9F,PF2=a.求：的面积(用。、b、a蓑示).3 .第二定义应用例1椭圆会+*=1的右焦点为尸，过点A(l,6)，点M在椭圆上，当IAM+2/月为最小值时，求点M的坐标.例2椭圆+4=1上一点P到右焦点K的距离为b(b)t求P到左准线的距离.4b-h例3椭圆9+：=1内有一点A(l,l),R、鸟分别是椭圆的左、右焦点，点尸是椭圆上一点.(1)求归4+归制的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2)求|曰+；归闾的最小值及对应的点P的坐标.4 .参数方程应用例1求椭圆

3、3+y2=上的点到直线了一y+6=O的距离的最小值.例2写出椭圆卷+?=1的参数方程；求椭圆内接矩形的最大面积.XV例3椭圆*+与=1(。h0)与X轴正向交于点A,假设这个椭圆上总存在点。，使OP_LAP(Oab为坐标原点)，求其离心率C的取值范围.5 .相交情况下-弦长公式的应用例1椭圆4/+2=及直线)=1+优.11(1)当川为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)假设直线被椭圆截得的弦长为考亘，求直线的方程.q例2长轴为12,短轴长为6,焦点在X轴上的椭圆，过它对的左焦点片作倾斜解为土的3直线交椭圆于A,8两点，求弦A3的长.6 .相交情况下一点差法的应用例1中心在原点，焦点在X轴上的椭圆与

4、直线x+y-l=0交于A、8两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.例2椭圆三+V=1,求过点P(g,gI且被P平分的弦所在的直线方程.例3椭圆上+V=1,(1)求过点且被尸平分的弦所在直线的方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过4(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点尸、Q9。为原点，且有直线OP、。斜率满足火8&oq=-J,求线段PQ中点M的轨迹方程.例4椭圆=试确定?的取值范围，使得对于直线/：y=4x+m,椭圆C上有不同的两43点关于该直线对称.例5P(4,2)是直线/被椭圆+?=1所截得的线段的中点，求

5、直线I的方程.椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为A(2Q),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：(1)当A(2,)为长轴端点时，=2,b=l,2V2椭圆的标准方程为：一+21=1；41(2)当A(2,0)为短轴端点时，b=2,a=4,椭圆的标准方程为：+-=1；416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.2y2例2椭圆+与=1的离心率“二：,求A的值.女+892分析：分两种情况进行讨论.解：当椭圆的焦点在工轴上时，=k+8,从=9,得H=%-1

6、.由e=L,得Z=42当椭圆的焦点在y轴上时，/=9,从=%+8,得=i-z.满足条件的2=4或%=二.4说明：此题易出现漏解.排除错误的方法是：因为氏+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在工轴上，也可能在y轴上.故必须进行讨论.22例5方程工+二=-1表示椭圆，求A的取值范围.k-53-kTr-5O,解：由(3-Z0,得3vZ5,且女04.k-53-k,，满足条件的人的取值范围是3vA5,且女04.说明：此题易出现如下错解：由，得3女5,故Z的取值范围是3As5.3女力0这个条件，当4=力时，并不表示椭圆.例6JSina-)，cosa=l(0)表示焦点在V轴上的椭圆，求的取值范围.分析

7、：依据条件确定a的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出a的取值范围.解：方程可化为二一+T-=1.因为焦点在y轴上，所以一0.1COSasinaSinaCOSa因此Sina0且tano, Sina(2)由焦点在y轴上，知/=,I cosa0,这是容易无视的地方. CoSa按=.(3)求。的取值范围时，应注意题目中的条件 Sina0a例5动圆尸过定点A(-3,0),且在定圆Zh(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：如下图，设动圆尸和定圆B内切于点M.动点尸到两定点,即定点A(-3,)和定圆圆心3(3,0)距离

8、之和恰好等于定圆半径，即归4+归耳=IPM+归耳=忸M=8.点P的轨迹是以a，半长轴为4,半短轴长为b=序手=7的椭圆的方程：+=1.167说明：此题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用22例1椭圆?+=1,耳、尸2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M,使M到左准线/的距离WN是制与阿国的等比中项？假设存在，那么求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由.解：假设M存在，设M(Xyyl)f由条件得=2,b=V3,.*.c=1,e=-.2左准线/的方程是X=T,.,.=4+x1.又由焦半径公式知：*J=a-e

9、x=2x1,M=+ex1=2-X1.M2=b0),长轴端点为A，A2,焦点为耳，F2,P是椭圆上一点，ZA1PA2=O9FxPF2=a.求：尸F2的面积(用。、人、。表示)分析：求面积要结合余弦定理及定义求角0的两邻边，从而利用&=gbsinC求面积.解：如图，设尸(x,y),由椭圆的对称性，不妨设P(X,y),由椭圆的对称性，不妨设尸在第一象限.由余弦定理知：比闾2=|尸周2+|尸闾2一2归国忖闾COSa=4c2.故 SM=5P 用P 耶 ina2 1+COSQf 2 uSina=Zrtan . 2由椭圆定义知：I尸制+p闾=幼，那么2一得IPMHpF2=-2，.3.第二定义应用例1椭圆会+

10、5=1的右焦点为尸，过点a(1,J),点M在椭圆上，当IAM+2/月为最小值时，求点M的坐标.分析：此题的关键是求出离心率e=；,把斗M月转化为M到右准线的距离，从而得最小值.一般地，求IAM+1M月均可用此法.I解：由：a=4,c=2.所以e=g,右准线/：x=8.(一过4作AQJ,垂足为。，交椭圆于M,故s,dFIMq=NM月.显然MM+2IjWI的最小值为HQ，即MIZ为所求点,因此)=有，且M在椭圆上.故Xm=?6所以M(2J5,V5).说明：此题关键在于未知式AM+2M月中的“2”的处理.事实上，如图，e=,即W月是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ,问题转化为求椭圆上一点M,使M

11、到A的距离与到右准线距离之和取最小值.例2椭圆J+二=1上一点P到右焦点F,的距离为b(b),求P到左准线的距离.4b-h分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.22解法一：由一7+=1，得。=力，c=6b,e-.4Z?2b22由椭圆定义，|尸耳|+IP闾=2=4,得PF=4b-PF=4b-b=3b.由椭圆第二定义，苧=e，4为尸到左准线的距离，.4=胆=23fe,即P到左准线的距离为2回.解法二：因=e,4为P到右准线的距离，e=-=,d2a2d2=-=-b.又椭圆两准线的距离为2=迪从e3c3尸到左准线的距离为国5人一独=2趣.33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意

12、焦点和准线的同侧性.否那么就会产生误解.椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如.一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，那么用椭圆的第二定义.例3椭圆三十4=1内有一点4(1/)，R、F,分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点.95(1)求归4+归用的最大值、最小值及对应的点P坐标；a(2)求|曰+；归闾的最小值及对应的点P的坐标.分析：此题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法.二是数形结合，即几何方法.此题假设按先建立目标函数，再求最值，那么不易解决；假设抓住椭圆的定义，

13、转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.解：(1)如上图，2a=6,F2(2,0)tA=2,设P是椭圆上任一点，由IP制+P周=2=6,PPF2-AF2,R4+P耳P.+P闾-IA闾=2z-A闾=6-0，等号仅当P4=P闾TA引时成立，此时P、A、尸2共线由IP4P闾+A闾,P+P6PK+P+A闾=2+A闾=6+五,等号仅当IPdTP闾+A闾时成立,此时p、A、尸2共线建立a、F2的直线方程+y-2=o,解方程组，x y-2 = 0,/ ,得两交点5x2+9=45年41vM+V扬呜+*M综上所述，P点与6重合时，IPd+俨匐取最小值6-正，P点与巴重合时，P4+P可取最2椭圆第二定义知蹩= e闷(2)如下列图,设P是椭圆上任一点,作PQ垂直椭圆右准线，。为垂足，由。=3,。=2,.6=.由733PQ=或P闾，24+Jp闾=pf+PQ,要使其和最小需有9A、P、。共线，即求力到右准线距离.右准线方程为X=.7JA到右准线距离为一.此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P坐2说明：求|尸4+曰尸用的最小值，就是用第二定义转化后，过4向相应准线作垂线段.巧用焦点半径归闾与点准距IPq互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用例1求椭圆+y2=l上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值.分析,先写出椭圆的参数方程，由点到直