高数下册积分方法总结.docx

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1、积分方法大盘点现把我们学了的积分方法做个大总结。1、二重积分1.1X型区域上二重积分（必须的基本方法）（1）后X先y积分，轴上的投影得区间a5（2）三l9日截回得截线X（小y边界大y边界）；（3）1.2Y型区域上二重积分（必须的基本方法）（1）后y先X积分,回往回轴上的投影得区间回9(2)三19三截回得截线(小X边界三大X边界日);(3)1.2极坐标二重积分(为简单的方法)(1)总是后回先积分；(2)其中，在D上是最小的回是最大的,射线日截回得截线IX（小Q边界日大回边界）O用坐标关系E三l9和面积元素代入（多一个因子Q）O当积分区域回的边界有圆弧，或被积函数有叵时，用极坐标计算二重积分特别简

2、单。2、三重积分1.1 1二套一方法(必须的基本方法)(1)几何准备(i)将积分区域回投影到面，得投影区域（三）以的边界曲线为准线，作一个母线平行于轴的柱面.柱面将闭区域J回的边界曲面分割为上、下两片曲面I-I-(,过点平行于轴的直线截回得截线(2)还有两种（回往山或面投影）类似的二套一方法（举一反三）。1.2 一套二方法（为简单的方法）（1）几何准备把回往投影得a.9（ii）任意给定国,用平面截回得截面（与有关）(2)还有两种（回轴投影）类似的一套二方法（举一反三）。1.3 柱面坐标计算三重积分（为简单的方法）（1）把积分写成二套一（2）用极坐标计算外层的二重积分（注意：里层的上下限也要用三

3、l9代入）。（当用极坐标计算外层二重积分简单时。）还有两种（回往面投影的二套一）类似的极坐标计算方法（举一反三）。2.3球面坐标计算三重积分（为简单的方法）（1）用坐标关系和体积元素（多一个因子）代入（2）三种情况定上下限变成三次积分（总是先回后回最后回积分）是课堂讲的三种情况或被积函数有时用球面坐标计算简单。3、第一类对弧长的曲线积分3.1平面情形(1)准备(2)代入时用作参数时用作参数3.2空间情形(1)准备(2)代入当IXI时用作参数j目;当IXI时用作参数目;当IXI时用作参数目平面是空间的特例。4、第二类对坐标的曲线积分4.1平面情形(1)准备lEZJ时用(2)代入作参数时用作参数4

4、.2空间情形(1)准备三9(2)代入1-U当IXI时用作参数j目;当IXI时用作参数日;当l时用作参数平面是空间的特例。5、第一类对面积的曲面积分（1）几何准备（i）将曲面往平面投影的投影区域.9（ii）写曲面的函数,计算9（2）代入得O（如果的方程为则类似（举一反三）如果曲面用一般方程给出三1是这方程的隐函数。用隐函数求导法求得,再用上面公式计算。如果曲面用参数方程给出,由得隐函数叵1O用隐函数求导法求得,再用上面公式计算。6、第二类对坐标的曲面积分6.1合面投影法(1)几何准备(i)将曲面平面投影的投影区域(ii)写曲面的函数(2)计算公式:其中6.2分面投影法6.2.1(1)几何准备(i)将曲面往平面投影的投影区域(2)计算公式：6.2.2(1)几何准备(i)将曲面往平面投影的投影区域(ii)写曲面的函数(2)计算公式：6.2.3(1)几何准备(i)将曲面平面投影的投影区域(ii)写曲面的函数(2)计算公式：7、格林公式(1)先决条件：和在上没有奇点；(2)格林公式O8、高斯公式(1)先决条件：在上没有奇点;9、斯塔克斯公式（1）先决条件:上没有奇点;（2）斯塔克斯公式我们学了很多积分方法,请注意：1、每种方法都要整个方法过程理解、记住、掌握；2、各种方法中的要素做法不要张冠李戴互相串用（这是常出现的主要错误！）。