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1、课堂探究探究一求曲边梯形的面积1 .求曲边梯形的面积时要按照分割一近似代替一求和一取极值这四个步骤进行.2 .近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替.3 .求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1+2+3+=&用一，F+2?+4=n/?+121公【典型例题1】用曲边梯形面积的计算方法求由直线*=O,x=lJ=O及曲线y=3x所围成图形的面积.思路分析：严格按照分割一近似代替一求和一取极限这四个步喋进行计算求解.n解：(1)分割：把区间0,1等分成个小区间(7=1,2_n_每个小区间的长度为、=,把曲边梯形分成个小曲边梯形，其面积记为As(I=1,2,
2、，力.(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积.S1=A-)Ax=3-=(21)(i,=l,2,，).nJnnn(3)求和：S=2.(了-1)=1+2HF(/?1)=1一/=1/=I取极限：S=现(-)=LK1-)=故所求面积等于探究二用定积分的定义求定积分用定积分的定义求定积分与求曲边梯形的面积的步骤是相同的，即分割一近似代替一求和一取极限.其中，被积函数就是曲边梯形的曲边对应的函数，积分的上、下限分别是曲边梯形中垂直于X轴的两条直线与X轴交点的横坐标值，面积的值就是相应定积分的值.【典型例题2】用定义求定积分3(丁+2X)CU解：设F(X)=X?+2尤将区间0,1平均分成等份，那
3、么AM=T7-1-n第/个区间为(2=1,2,3,，).2_n_取J,n那么f(5)=4*=d+2*=,于是/W=(+SVn)-=陟，+%)=S邪+窘+由+2(HylrnnnJjnn)=72n+i=y1+iY2+n+r1+n6n6njnJIn)当l+8时，$=机+12+?+(1+力V,即现S3,4所以JI(V+2x)dx=Jj厚S=1.探究三定积分几何意义的应用1 .定积分)(x)d的几何意义是：介于x=a=Z之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中X轴上方局部面积为正，*轴下方局部的面积为负.2 .定积分几何意义的应用主要有两个方面：一是将求平面图形的面积问题转化为求相应的函数的定
4、积分问题;二是将一些求特殊函数的定积分问题转化为求相应平面图形的面积问题.3 .求定积分值的时候，要注意结合函数图象的对称性求解.【典型例题3】用定积分的几何意义求以下定积分的值：(1) fixdx；(2) I-4-2dx；(3) f-xsinxdx；(4) fJncosXdx.思J分析：画出相应被积函数的图象，再根据定积分的几何意义求解.解：(D定积分Gxdx的值就是由直线y=x,x=l,x=2,y=0所围成图形的面积，这里恰好是一个直角梯形，1QQ其面积为S=-(1+2)X1=5,于是JiXdX=5(2)被积函数尸产，表示的曲线是圆心在原点，半径为2的上半圆，由定积分的几何意义知定积分计算
5、的是,JT92半圆的面积，所以有1277dx=1-=27.(3)函数尸SinX在区间一人，冗上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称(如图)，由在X轴上方和下方面积相等的两局部构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于O,即/,sinxdx=O.(4)由函数J=COSX图象(如图)的对称性可知，X轴上方和下方的面积相等，所以/cosxdx=O.探究四定积分性质的简单应用应用定积分的性质可以解决定积分的计算问题，但要注意这些性质的逆用和变形应用.【典型例题4】求解以下各题：(1)假设Uf()+g(x)dx=2,f(X)dx=-3,那么JbAf(x)dx=.(5) J32f(x)dx=5,F(X
6、)dx=4,那么/，F(x)dx=.思路分析：利用定积分的性质进行求解.解析：(1)由于广f(x)+g(x)dx=/XX)dx+J)(x)dx,所以J(x)dx=Sbaf(x)+g(x)d-S!g(x)dx=2-(-3)=5,于是J%f(x)dx=4J%(x)dx=4X5=20.(2)由于J2-2f(x)dx=f-2(x)dx+/o(t)dx,因此/FCOdx=S2-zfxd!o（八）dx=54=1,故f12】-f(x)dx=-J-2f(x)dx=l.答案：(1)20(2)-1探究五易错辨析易错点：对定积分与曲边梯形面积的关系理解不清而出错【典型例题5】用定积分表示曲线y=sinX与直线X=-JI,x=0,尸0所围成图形的面积.错解：所求面积为JlXSinXdx错因分析：没有分析曲线尸SinX的位置，盲目套用定积分与曲边梯形面积的关系导致错误.事实上，图形在X轴下方，故其面积应等于定积分的相反数.正解：所求面积为一0nsinXdX,或If-11sinXdX|.
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