国内微积分教材中关于所谓无穷小比较大小问题引出的争论以及反映出的问题.docx

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1、国内微积分教材中关于所谓无穷小比较大小问题引出的争论以及反映出的问题沈卫国（2023年12月23日）内容摘要：针对近30年某些微积分教材中的无穷小比较大小的问题疑难的争论，彻底分析了这个问题产生的缘由，指出其中的问题本质，并得出结论：不从根本上进行观念的改变，这个问题无解。关键词：无穷小；高阶无穷小；同阶无穷小；趋0极限；导数；增量比；差商；因变量；函数；自变量；趋0快慢；趋0距离最近了解到，关于国内微积分教材中所谓无穷小比较大小的说法，曾经引起了很大的争论，似乎并没有确切的结论。这个问题直接反映了微积分基础理论的结构的混乱到了令人吃惊的地步。按这个逻辑，根本不可能辩出个结果，因为整个理论都是

2、不行的。还更令人吃惊的是，明明第二代微积分的极限法为了回避贝克莱悖论，是推弃了无穷小这个概念的，怎么又会被堂堂正正地写入了教材，并且被一些教师说成是“高等数学的很重要的概念”？我又专门去查了一下，手头上有的美国托马斯微积分、普利斯顿微积分教材、方源和王元的微积分教材、龚升的微积分教材中，这些严肃的权威教材中，根本就没有无穷小这个词条出现!难道我们现在一般的微积分教材，还是沿用牛顿、莱布尼兹时代的教材吗？如果学生都被教成这个样子，也就难怪笔者对微积分的诠释鲜有人问津了：很多人根本就认为第一代微积分的无穷小都无错，所谓的高阶无穷小就可以舍去或应该舍去，无问题微积分本质上就是一个近似的东西等等。这个

3、问题，始于二十年前的2004年的参考文献K由申兰珍的一篇小文引出。她说：“无穷小的比较是无穷小量这部分内容的一个组成部分。“设,B均为无穷小量,若Iim=0,则称Q较B高阶无穷小”，解释为“比B趋于0的速度快”（引号部分摘之教材）。当X0十时,y=2与y=都是无穷小量，:Iim-o+x7x=O,按某些教材的解释，自然可以说y=2与y=x向0的变化速度快。众所周知，导数是研究函数变化速度的,要想知道函数f（X）的变化速度只需求f（X）的导数即可。y=2的变化速度为y,=2x,而y=x的变化速度为y=1,当OVXV0.5时,显然y=x的变化速度比y=x2的变化速度要大，也就是说在x-（的过程中y=

4、x比y=2的速度快,这与无穷小量的比较的解释恰好相反。我们再来看无穷小的比较：IinIa/B=OqV（不妨设OVVD,总存在那么一个时刻,从那个时刻以后I0IVVI,分子的绝对值比分母的绝对值小,说明分子离零的距离要比分母离的近。因此可以说,无穷小的比较实际上是在某个变化过程中从某个时刻以后谁离零的距离更近,谁离的近谁就是较另一个的高阶无穷小。而距离的远近不能用变量变化速度的慢快来说明，y=2与y=X就是一对很好的例子。在0xl时，2比X距离0点远，XVI时，比X距离0点近。X=1时，速度2xL速度快。XVI/2时才速度慢。所以无论从哪个角度，都说不通。说距离近，也不是总近；速度快，也不是总快

5、。如何论？最后一例,我们以x/2代替前面例子中的X2,则x/2的导数也就是速度是1/2,它比X的导数也就是速度1相比，是小的。于是x/2速度慢而更接近0,但它不是高阶无穷小，它其实与X同时到达0点。但x2为高阶无穷小，按微积分说法，可以舍弃。但x/2却不是高阶无穷小，不可舍弃。但它确实又离0点更近。如此，我们又怎么能按教材说的，“趋0速度快”的就是高阶无穷小，就可以舍弃不计？总之，实际高不高阶，都是要舍弃的，都没有什么道理。说高阶可消去不过是借。齐民友在其著作中谈到过这个问题。实际上，无论上述哪种情况，都是同时到达0点的，这才是正解。我们还可以对上述问题进行更深入一些的讨论。前文的所谓“x2/

6、x”，是怎么来的，其意义究竟是什么？请看二次函数（抛物线）的增量比（差商）式yx=（2x+x）xx（1）当然也可以写成为yx=2xxx+xxx=2xxx+x2X*(2)当此二式中的X二O时，也就是在O点时，可以看出，就得到yx二x2（3）此时，Zx2/ZXx与前面讨论的x2x是一回事。因为4x=-0,就有*二X。（注：在此例中的X=0,与二X中的X不是一回事，前者是原点，后者是另一个点的坐标。符号一样，但内涵不同，不再改了）首先按笔者对导数的思路，这个问题极其简单。那就是x2x=xxx=xll=xgg=0ggOx=0或一0时）（4）其中，为先割线、后切线上任意两个点的间距（增量）。而xZgZg

7、中的ax就是此割、切线方程的系数，也就是斜率k,当其二0或一0时，就是切线斜率。因为此时切线在原点，因此切线是一条水平线，斜率自然为0。按笔者对导数的新定义或诠释，这很好理解。其中4xZx=1/1一步，当然是一般求导过程中的约分消分母的实际过程。其实有了这个割线两点间距1,足够，g并不必须，只不过为了更严格或更一般化而已。但按照传统无穷小微积分（第一代牛顿法）的诠释，就十分造作甚至无法自圆。比如，在公式2中，一般求导的步骤是，因为ax2被认为是所谓的“高阶无穷小”，可以舍弃。这其实就是在4x2/Zx中，令4x2二0,但在分母上的4x不能为0,否则会得到0/0。而分母如果不为0,就有0Zx,这当

8、然是不合情理且有矛盾的，因为4x2/ax中的是同一个变量，4x2=0,也必然有分母上的二0,进而得到0/0O可见，按无穷小舍弃高阶无穷小的思路，这里必然会产生矛盾。现就这个问题小结如下：1、无穷小概念，早就应该杜绝于极限法的第二代微积分中，但现在仍旧在为诸多教师津津乐道，实在是不应该。这是完全无视贝克莱悖论的做法。讲无穷小概念与极限相提并论或等同起来，都是违反极限法第二代微积分初衷的。2、参考文献1提出的这个问题，深刻地反映了所谓“高阶无穷小”这个概念完全没有真正说清，进而（高阶）无穷小可以舍弃的理由完全不成立。实际上，两个变量（可看成自变量与因变量）是同时到达0点的，没有什么先后之分，与什么

9、趋0速度的快慢，或离0点的远近没有必然关系。一个形象的比喻，就是芝诺悖论的阿克琉斯（速度快者）追乌龟（速度慢者）悖论，最终是事实上会追上的，也就是会会合的（会合的哪一点就是目标点，对应于0点）。教材中的所谓无穷小的比较问题，说决定于趋0速度的快慢，无论是指的运动速度，还是离0点的距离远近，都不能决定其是所谓高阶无穷小，也就是都不能作为舍弃它、无视它的任何理由。换言之，二者之比（因变量与自变量之比，即增量比或差商）在0点没有任何理由不是0/0,因为显然，从前述参考文献1提出的问题可知，其实因变量与自变量是同时到达0点的，无论是函数值的到达还是极限值的到达。总之，教材说无穷小大小的比较（涉及是否可

10、以舍弃它的理由），是由于其趋于。的快慢决定的。但参考文献1揭示了，变量接近。点的运动速度，并不决定哪个变量最先到达0点。有人又说所谓教材的趋于0的速度，指的是哪个无穷小接近0点最近。但参考文献4又揭示了，离0点近的，与离0点远的，可能是等阶无穷小，而非高阶无穷小，也就是离0点近的并不一定就可以舍弃。既然如此，就算是高阶无穷小，也无非不是运动速度快，就是离0点近，既然此二点都不足以作为可以舍弃的判据，那这种舍弃高阶无穷小的理论，还有其基础吗？3、把无穷小语言换成极限语言，其实也一样。除非因变量比自变量先到O点，也就是自变量不为O时因变量已经为O了，我们才可以舍弃它。否则二者之比(增量比，差商)在

11、O点就是0/0,仍旧是一个需要解决的问题，它就是贝克莱悖论。至于如何解决，笔者前期有关文章中都有讨论，此不赘述了。关于“无穷小”概念：著名数学家、逻辑学家莫绍揆先生说：“初学者还因为古老理论认为：微分是无穷小增量小而dyf,(x)Zx只是近似式，要-0时方有dy=f,(X)dx(这其实是初学者的错误体会)遂认为dX,dy是无穷小的4x,y;或者“Zx-0时的,Zy”其实当X0时显然一0及一O,哪能得出dX,dy呢？这种错误的理解也是古典理论的错误说法引起的，我们的结论是：说dX二,无论如何都是不能接受的”。莫绍揆先生还在其文章前面的“摘要”中还说：“最初在牛顿、莱布尼兹时代人们把微分看作变元的无穷小增量；自从废除无穷小概念后人们把df(x)定义为当H-0时函数增量(注：公式复制困难,此处以文字代替。笔者说明)的主部它是矢量H的线性式记为L(H),然后人们或者证明d(x)即h,或者把dX,定义为h,这等式是不能接受的”。陈玉发在其极限与无穷小辨析中说：“若Iimxxf(x)=O则称f为当X一x时的无穷小量(简称无穷小).简单地说，无穷小就是以0为极限的变量.因此：无穷小是一个变量，不是一个常数.一个常数，无论多么小，都不是无穷小.因为对于任意一个小常数,Iimxx=0,因此，常数不是无穷小