第7节解三角形的应用公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、第7节解三角形的应用考试要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.I知识诊断基础夯实知识梳理1 .仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角（如图1）.2 .万位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为（如图2）.3 .方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30。，北偏西45。等.4 .坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.常用结论1 .不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2 .解决与平面几何有关的计算问

2、题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.诊断自测1 .思考辨析（在括号内打“J”或“X”）（1）东北方向就是北偏东45。的方向.（）（2）从A处望8处的仰角为,从B处望A处的俯角为6则蜃夕的关系为+/=180o.（）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为o,手.（）（4）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.（）答案（1）（2）（3）（4）解析（2抽=夕；（3）俯角是视线与水平线所构成的角.灯塔B在观察站南偏东60。，则灯塔A西巴上厂Ab A由B.北偏西10D.南偏西802 .如图，两座灯塔A和8与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40,在灯

3、塔B的（）A北偏东10C.南偏东80答案D解析由条件及图可知，A=NCBA=40。，又NBCO=60。，所以NCBo=30。，所以NORA=I0。，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.3 .如图所示，设A,8两点在河的两岸，一测量者在A所在的/B同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,NAC8=45。，Ne48=105。后，就可以计算出A,8两点的距离为（）A.5O2mB.5O3mCZC.252mDi,黑m答案A解析在AABC中，由正弦定理得AB_ACsinZACBsinZCBA9又NCBA=I80。-45。-105。=30。,ACsinZACBj2rsin ZCBA.AB=:7,d=i50

4、2(n).cmZ(RAv,4 .要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角45。，在。点测得塔顶A的仰角30。，并测得水平面上的NBCQ=120。,CZ）=40m,则电视塔的高度为（）A.102mB.20mC.2O3mD.40m答案D解析设电视塔的高度为/m,则BC=R,BD=yx.在48CO中，由余弦定理得3f=x2+4（）2-2X40XXeoS120,即f-20-800=0,解得X=20（舍去）或x=40.故电视塔的高度为40m.5 .海上有A,B,C三个小岛，A,8相距55海里，从A岛望C和3成45。视角，从8岛望C和A成75。视角，则8,。两岛间的距离是海里.答案52

5、解析由题意可知NAC8=60。，由正弦定理得SinNACB=SinN-AC即Si程。=Si露。,得BC=5i考点突破题型剖析Il考点一解三角形应用举例角度1测量距离问题例1（2022廊坊模拟汝口图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1OOO多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB=60米，BC=60米，CD=40米，ZABC=60fZBCD=120,据此可以估计天坛的最下面一层的直径Ar）大约为（结果精确到1米）（）（参考数据：21.414,

6、31.732,52.236,币=2.646）A.39 米答案DB .43 米C.49 米D.53 米解析在AACB中，A8=60,BC=60,ZABC=GOof所以AC=60,在XCDk中，D2=C2+CD2-2ACCDcos60o=602+402-26040=2800,所以40=2丽七53（米）.感悟提升距离问题的类型及解法（1）类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.角度2测量高度问题例2（2021.全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新

7、高程为8848.86（单位：m）.三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三点、,且A,B,。在同一水平面上的投影A,fB,C满足NHCE=45。,N4EC=60。.由C点测得8点的仰角为15。，BB,与CC的差为100；由8点测得A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面A5C的高度差AA-CC约为(5f.732)()A.346B.373C.446D.473答案B解析如图所示，根据题意过C作C石CQ,交39于已过B作BDAB,交AA，于D,则BE=100,CB=CE=:在44C3中，ZC,Af,=180o-ZA,CfB,NABC=75,CBsin4

8、5则BD=AfBf=,又在B点处测得A点的仰角为45。,所以Ao=Bo=CB,sin 45sin 757sin 45所以高度差AA，-CC=AD+8ECBrsin45IoO=100(3+l)+IoOg373.感悟提升1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.角度3测量角度问题例3已知岛A南偏西38。方向，距岛A3海里的8处有一艘缉私北艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22。方向行驶，问缉私艇

9、朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时yh东能截住该走私船？BI(参考数据：sin38。心浮sin22。=中g)解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上C卜北一点，缉私艇的速度为每小时X海里，则8C=0.5x,AC=5,依题意,NBAC=180。-38。一22。=120。，Kd由余弦定理可得8C2=A82+A02-2A8ACcos120,所以302=49,所以BC=O.5x=7,解得X=14.又由正弦定理得5X近L,AcSinNBACD253SinN4BCBC：14，所以NABC=38。，又NB4O=38。，所以BCAO,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5

10、小时截住该走私船.感悟提升1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.训练1（2022宁德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径（即A,8两点间的距离），现取两点C,D,测得CD=80,ZADB=135o,ZBDC=ZDCA=15o,ZACB=120,则图中海洋蓝洞的口径为.答案8O

11、5解析由已知得，在AAOC中，ZACD=15o,ZADC=150,所以NDAC=I5。,由正弦定理得AC=嚅疆=度后=4。（加+也）.4在ABCO中，ZBDC=15o,ZBCD=135,所以NoBC=30。，由正弦定理SinNCM=SinNBZ）CCDSmNBDC80sin15orr何BC=/d-=i=160sin15=40(6-*y2).sinZCBD1VY2在AABC中，由余弦定理，得44=1600X(8+45)+l600X(8-45)+2Xl600(6+2)(6-2)=160016+l6004=160020=32000,解得43=8郎，故图中海洋蓝洞的口径为80S|考立二求解平面几何问题

12、例4(2021新高考八省联考)在四边形43CQ中，AB/CD,AD=BD=CD=.3若AB=,求BG若AB=28C,求CoSNBoC.解（1）如图所示，在aABO中，由余弦定理可知,COSNABO=3 221ab2+12.T2 2-X2-211 = 2 ：ABCD, ：./BDC=/ABD,即 cos Z BDC=cos ZABD.2 联立,可得丁=X,整理得 2+2-2=0,解得用=5-, 2=-5-i(舍去).将T=巾一1代入， 解得 CoSNBDC=小一L+bd2-ad22ABBD：AB/CD9：.NBDC=ZABD9即cosZBDC=CosZABD=在48CO中，由余弦定理可得，3BC

13、2=BD2+CD2-2BDCDcosZBDC=12+12-211.d,.2D2(2)设5C=x,则A3=2BC=2x.由余弦定理可知，A4+*AO2cos/ABD=2ABBD(2x)2+12-y2X2XX1=羽CosZBDC=cd2+bA-bc22CDBD感悟提升平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.tr训练2如图，在AABC中，点P在边BC上，C=yAP=2,ACPC=4./求NAP8；(2)若AABC的面积为乎，求SinZBAR解(1)在AAPC中，设

14、AC=心4Jr因为ACPC=4,所以PC=J又因为C=1,AP=I,由余弦定理得AP2=AC12+pc2-2ACPCcos2即22=2+(J-2*coS,解得x=2,所以AC=PC=AP,此时aAPC为等边三角形，2兀所以NAPB=9.(2)由Smsc=%CBCsin胃=岁，解得BC=5,则BP=3,作AO_L3C交BC于。，如图所示.BPDC由(1)知，在等边aAPC中，AD=小,PD=I.在RtABD中，AB=AD2+BD2=3+16=19.ADRP在AABP中，由正弦定理得%中SinZAPBSinZPAB3X近LJX23/S7所以SinNB4B=3考点三三角函数与解三角形的交汇问题例5(2022青岛质检)已知函数外)=12小SinXCoSx-2cos1x+tn在R上的最大值为3.(1)求m的值及函数/U)的单调递增区间；若锐角AABC中角A,B,。所对的边分别为小b,c,且HA)=0,求如勺取值范围.解(iy(x)=13sin2-(1cos2x)zn=一(小Sin2xcos2x)+m=-2sin(2x+)+m.由已知得2+根=3,所以加=1,因此y(x)=2s