数理方程试题.docx

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1、一 .判断题（每题2分）.1 .兽+呼=），是非线性偏微分方程.（）oxyox2 .绝对可积函数一定可做FoUrier积分变化.（）3 .E（X）是次Lege力e正交多项式，则居=L（）4 .0,y0;叱=o=y+L“IV=O=1.y+2p-3y=dy=o=&yM）=.五.某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为COSX,求弦的自由振动规律。（12分）六.设有长为。，宽为b的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为X,内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。（12分）七.判断以下方程所属类型并求其标准形式（8分）yuxx+xuyy=OA.表达并证明LaPIaCe变

2、换的微分性质和卷积性质。（12分）数理方程试卷答案一判断题(1)XXVVV二填空题(1)抛物“xr+%=，/+y0,4=0=，Mzz=o=cosx（3 分）wx Ix=O=0由方程的边界条件，对原问题做偶延拓，得到无界弦的转动方程u ,ll = a1u 1 - x O Lo=O Mz,r=0=cosx根据达兰贝尔公式得u (x, t) = 一f cossds = sinxcos/ 2a j-a,a从而，原问题的解为1 rx+atw(x)=cos sds - - sin XCoS at2a j-a,a六.解：定解问题为（4分）（3分）（2分）urr+un,=OOx,Oy0时，方程式双曲型的。（1

3、分）xO时，特征方程是包 dx,解得（一元）2产=仇,2，（1分）令=(-x)=yK得标准型为W-U+7(-)=(1分)3当yvO,xO时，特征方程是电= dx标准型为uu+-)=0(1分)3（2） =-xy-0,抛物型。标准型为uxx=0,或uyy=0o（1分）（3） =-O,椭圆型。特征方程解为（一xN3=S2（1分）令g = 得标准型为U尉1 zwf 八 3 =Oo (1 分)A.证明：微分性质“乡f(r)(s)=式G)-(0)(2分)dtady-=esi-f(t)dtdt%dt=xe-s,df(t)=f(t)e-s,-f(t)de-s,(3分)=-/(O)+ses,f(t)dt=sLf(t)(s)-/(O)卷积性质Uftf2(r)(5)=Lfi()(5).Lf2(t)(s)(2分)1.*人i=1()f2(t-)de-x,dt二；J：/)I/(Lr)-力八(5分)=工(力5(加=L，(s)4($)