专题1-2空间向量与立体几何20类解答题专练.docx

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1、专题1-2空间向量与立体几何2。类解答题专练型.螂瓢知识点梳理模块一平行证明（拆分练习）【题型1】由中位线得出平行关系【题型2】构造平行四边形得到平行关系【题型3】由面面平行得出线面平行【题型4】构造2个平面的交线模块二垂直证明（拆分练习）【题型5证明线面垂直【题型6】证明异面直线垂直【题型7】证明面面垂直【题型8】平行垂直的向量证明方法模块三点与面【题型9】证明四点共面【题型10求点到平面的距离模块四空间中的角【题型11】异面直线夹角【题型12线面角【题型13求二面角（重点）【题型14求面面角（重要）【题型15】已知线面角或二面角，求其它量（重要）【题型16】与角有关的最值与范围问题（难点）

2、模块五探究类问题【题型17验证满足平行条件的点是否存在【题型18】验证满足垂直条件的点是否存在【题型19】验证满足角度条件的点是否存在【题型20已知点到平面距离，求参数知识点梳理一、平行证明：中位线法，平行四边形法，构造平行平面法证明四点共面一般转化为证明平行二、垂直证明证明直线与直线垂直：1、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。这是证明直线与直线垂直最常用的方法。2、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。3、三垂线定理及其逆定理。4、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长是一组勾股数，则这个三角形是一个直角三角形。5、等腰三角形三线

3、合一：等腰三角形底边上的中线、顶角角平分线和底边上的高是同一条线段。6、菱形对角线互相垂直。7、矩形的相邻两边垂直。8、全等或相似三角形中的垂直证明直线与平面垂直：1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。2、如果两个平面垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。3、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。4、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面。证明平面与平面垂直：1、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的两个面所在

4、的平面互相垂直。3、直棱柱的底面垂直于侧面。三、点到平面的距离(1)法一：等体积法(2)法二：法向量：如图，已知平面。的法向量为4是平面。内的定点，尸是平面外一点.过点尸作平面的垂线/,交平面于点。，则是直线/的方向向量，且点尸到平面。的距离就是在直线/上的投影向量炉的长度.P0=I/1=|二Wl二竺型四、异面直线所成角已知。，b为两异面直线，A,C与3,O分别是。，b上的任意两点，a,6所成的角为。，则ACBD而丽IcosCAe,BD=竺丝CoSe=Icos=l.ACBDCBD五、线面角,公式：Sme=CoS(ABJ)/范围：0,I2设直线/的方向向量为，平面。的法向量为直线与平面所成的角为

5、e,Z与的角为尹，则有六、面面角范围：o,I2公式：COSJ=cos(/?,w范围：（0,公式：ICOSq=COS(W,/H*y核心题画7模块一平行证明(拆分练习)母题：如图，P是四边形/88所在平面外的一点，ABCD,CD=cIAB,E是PC的中点.方法一：作相交平面找线(1)证明BE/平面PAD解析：模型铺垫：AB平面BABDE【简析】若BE平面PAD,则必有BE/PG,所以所以要证明BE平面PAD,只需证明BE/PG即可.(中位线)(2)若F是DC的中点，证明PA/平面BEFU【简析】若PA/平面BEF,则必有PA/EM,所以要证明PA/平面BEF,只需证明PA/EM即可.（中方法二：B

6、E平面PAD（正向平移法：构造平行四边形）【简析】将向平面RI。中平移，易知将线段BE沿BA平移，可得E点轨迹，取PD中点M,由平行四边形可得BEAM,故BE平面PAD.（3）方法三：BE平面PAD（反向平移法：构造面面平行）【简析】将尸。，4。平移，使之与BE共而，可得平面BEH,易知BHAD,EHPD,则平面EHB平面PAD,故BE平面PAD.【题型1由中位线得出平行关系1 .如图，尸。是三棱锥P48C的高，PA=PB,ABlACfE是PB的中点.证明：OE/平面P4C；【分析】连接30并延长交4C于点0,连接04、PD,根据三角形全等得到04=03,再根据直角三角形的性质得到40=00,

7、即可得到。为8。的中点从而得到。EP。，即可得证；【详解】（1）证明：连接8。并延长交4C于点O,连接。力、PD,因为Po是三棱锥P/18C的高，所以P0/平面力8C,40,BoU平面ABC,所以PO_L4O、POlBO,又PA=PB,软以bPOA=IhPoB,即04=08,所以NO45=NOA4,又N814C,即N84C=90,所以N8+NCUO=90。，ZOBA+ZODA=90f所以Zx）DA=40AD所以ZO=OO,AO=DO=OB,所以。为80的中点，又E为依的中点，所以。E/?0,又OEQ平面P4C,PDU平面P4C,所以OE平面P4CP【题型2】构造平行四边形得到平行关系2 .如图

8、，四楂台45a的下底面和上底面分别是边4和2的正方形，侧棱CG上点E满足1=P证明：直线43平面4AE【详解】(1)证明：延长AE和。C交于点M,连接MA史BC于点、N,连接AN,由*=,故旭=L,所以CM=4=48,所以MCN知ABN,CE2CM2所以BN=NC,所以N为8C中点，又AiDl/8C且4=BC,BxCxIIBN且B=BN,所以AQJ/BN且/IQ=BN,故四边形力乃M)I为平行四边形，所以48/RN,又Z)INU平面/RE,0平面4RE,所以4/平面4OE.(2)解：以C为原点，CD,CB,CG所在直线分别为X轴、V轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系.【题型3】由面面平行得出

9、线面平行3 .如图，四边形力为为矩形，尸是四棱锥尸一工员3的顶点，/为密的中点，请问在以上是否存在点G使得金平面4%,并说明理出【答案】在24上存在中点G使得上平面尸,理由如下：取回、的中点7、H,连接会CH、CH：G、”是肉，勿的中点，勺4Z?中，可得GHHAD豆CH=又是叼的中点，且四边形力a3为矩形，2：.EC、W平行且相等，可得四边形土7是平行四边形：,EalCH,又.4e平面P,即平面7力,平面PCD.4 .如图,密且AP=2BGAPVCD、EalADREG=AD,CD/FG且CO=2FG,口社平面23C2DA=DC=DG,若为Cr的中点，为EG的中点，求证：/V/平面CZ).【答案

10、】证明：设，是勿的中点，连接“，MH,由于,是CC的中点，就以MHHcD,由于平面&E,CK笠面CDE,所以平面CDE.由于/V是&的中点，版VkNHllDE,由于由于/V*平面”F,DEUt面CDE,所以“平而8E.由十NHMH=H,所以平面MNHll笠弧8E,由千MNU斗的MNH、所以/W平面【答案】证明：连结PBl,交CE于点D,连结DF, EP, CBl,因为E, P分别为BIC1, CCl的中点，故EPgcBl且EP=；CBl,【题型4】构造2个平面的交线5 .如图，三棱柱中，E,P分别是4G和必的中点，点尸在棱44上,且与尸=24/，证明：4尸/平面分0PD1AF1故隹=；，又B1

11、F=2,A1B1=3,故工/=彳，DB2FBl2所以FDA1P,又FDU平面EFC,AIPa平面EFC,故AIP平面EFC;6 .如图，四棱锥P-z43CP的底面为正方形，且户YZL面am?.设平面必Z?与平面8纪的交线为/证明：/CB【证明】证明：因为ABCD为正方形,：,BCAD、又Y3平面PAD,4以一平面PAD.BCll南PAD又;的一平面PC8.平面AAE平面PCB=Lwe.模块二垂直证明（拆分练习）【题型5证明线面垂直7.如图，在四棱锥产一力3C0中，已知43/C0、ADtCD,AB=AD=,DC=DP=2,PDV5P11UABCD,求证：8C_L平面?80.【解答】证明：(1).

12、PD1)ABCD,又BCu面8CO,.BC1PD,取Co中点E,连接8E,BELCD,且BE=I,在RtAABD中，BD=近,在RtABCE中，BC=2,.BD2+BC2=(2)2+(2)2=22=CD2,/.BCLBD,:PDnBD=D,二BC工平面PBD.8 .如图，在四棱锥尸8C0中，PA=PD,AB/CD,CDLAD,CD=IAB,点E为PC的中点，且BEI平面PCO.求证：COl.平面E4。【解答】解：证明：取PD的中点尸，连接力尸，EF,则E尸/CO,EF=；CD.又ABHCD,AB=CD,所以E尸/Z8,EF=AB,则四边形4BEF为平行四边形，所以/尸/BE.又8E_L平面尸C

13、D,CDU平面PCD,所以BE工CD,所以力/J.CO.又CO_L4O,AFAD=A,AF,/OU平面R1。，所以CP_L平而P4O.【题型6证明异面直线垂直9 .已知直三棱柱48C-44G中，侧面为正方形，AB=BC=2fE,F分别为力。和CG的中点，。为棱4用上的点，BF1AxBx.证明：BFVDEx【解答】证明：连接4尸,.E,/分别为直三棱柱48C44G的棱力C和CG的中点，且/5,VBF1AiBi,ABHAlBxt:.BFAB:.AF=yAB2+BF2=y22+(5)2=3,AC=AF2-CF1=32-l2=22，:.AC2=AB2+BC2,即区4_LBC,ZiABC为等腰直角三角形

14、.取BC中点G,因为EGAB,所以BF-LEG,又TABFCgZkBlGB,故B1GLBF.BFL平面EGBlDTDEcz平面EGBlDBFDE10 .如图，在四棱锥尸-48CD中，底面48C。是平行四边形，Z1BC=120o,JB=I,BC=A,PA=诟，M,N分别为8C,PC的中点，PDlDC,PM1MD.证明：451.尸M；【解答】证明：在平行四边形力BCO中，由已知可得，CD=AB=,CM=-BC=2tNDCM=60,由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDCMcos60p=l+4-2l2-=3,则CZ+Z)2=1+3=4=C2,即Co_LOM,又PDLDC,PDyDM=D,.COJ.平面PQA/,而尸MU平面POA/,/.CD1PM,；CDIlAB,aABLPM.11 .如图，已知三棱柱力8C-4