2023-2024学年北师大版选择性必修第一册空间直角坐标系学案.docx

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1、2023-2024学年北师大版选择性必修第一册空间直角坐标系学案学习任务1 .了解空间直角坐标系.(数学抽象)2 .掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念.(直观想象)3 .能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标.(数学运算)必备知识情境导学探新知习济感奋【情境与问题:(1)如图所示,怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置?(2)在直线上建立数轴后,就可以用一个数刻画点在直线上的位置;平面向量中,我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量,引进了平面向量的坐标.空间向量是否可以引进类似的坐标?知识点1空间直角坐标系(1)建系:在空间选定一点O和一个单位正交基底/kt以

2、点。为原点,分别以i,在4的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:X轴、y轴、Z轴,这样就建立了空间直角坐标系.(2)有关概念坐标轴工轴、上轴、主轴原点点O坐标向量LJ,k坐标平面Oxy平面、OPZ平面和QZ平面,它们把空间分成个部分建系的常用规则画空间直角坐标系Gyz时,一般使Nx0=135(或45),NyOZ=90.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向三效的正方向,食指指向建的正方向,如果中指指向谢的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.知识点2空间中点的坐标和空间向量的坐标(1)点的坐标在空间直角坐标系OXyZ中,i,J9为坐标向量,对空间任意一点力,对应一个向量65,且点力的

3、位置由向量编唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组5,y,z),使五?=Xi+Xy+zk,则。,y,力叫做点74在空间直角坐标系中的坐标,记作4(*,y,z),其中工叫做点4的横坐标,匕叫做点力的纵坐标,互叫做点力的竖坐标.(2)给定向量盘若瓦?=&则6=N+j+zL有序实数组(笳y,Z)叫做6在空间直角坐标系OXyZ中的坐标,记作a=(x,Mz).思考空间直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有何特征?提示:/轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0,即(筋0,0).y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即(0,八0).Z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即(0,0,z).。课前自主体验O思考辨析(正

4、确的打“J”,错误的打“X”)(1)空间直角坐标系中X轴与y轴的夹角为45.()(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面,它们把空间分成四个部分.()(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系.()(4)若向量a=xa+ya+z&,则a的坐标是(x,yz).()(5)若向量荏=(x,y,z),则点的坐标是(x,y,z).()(6)若点力的坐标为(x,y,z),则65=(必八z).()(7)若四边形力腼是平行四边形,则向量荏与虎的坐标相同.()提示:(DX空间直角坐标系中,三条坐标轴相互垂直.(2) X空间直角坐标系中,三个坐标平面把空间分成8个部分.(3) 原点位置不同,就得到不同的空间直角坐标系.

5、(4) (,比,金不一定是单位正交基底.(5) X点、A不一定和原点。重合.(6) 根据空间向量的坐标定义可知.由近=反可知而与小的坐标相同.关键能力合作探究释疑难一疑难问题解惑学科素藐D类型1求空间点的坐标【例1】长方体力8。BCD的长、宽、高分别为48=8,M=3,AA=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点4B,C,D,A,F,C,D的坐标.解如图所示,以力为原点,分别以有向直线9AD,AA跟进训练2.点尸(一3, 2, 1)关于平面Ozx的对称点是,关于Z轴的对称点是,关 于(1, 2, 1)的对称点是.(3, 2, -1) (3, 2, 1) (5, 2, 3)点 P(3, 2, -

6、1)关于平面 Ozx 的对称 点是(一3, 2, 1),关于Z轴的对称点是(3, 2, 1).设点(一3, 2, 1)关于V(1,为X轴、y轴、Z轴的正方向,以1为单位长度,建立空间直角坐标系止灯z,则点4,B,C,都在平面入4K内,因而其竖坐标Z都为0,因此儿B,C,的坐标分别是1(0,0,0),M8,0,0),C(8,3,0),(0,3,0).由于点,S,6v,都在一个垂直于Z轴的平面/8C内,又A4=5,所以这四点的竖坐标Z都是5.又过/,外,仁,分别作XAK平面的垂线,垂足分别为AfB,3因此H,夕,,D,的横坐标X、纵坐标y分别与4B,C,。的横坐标x、纵坐标y相同.因此H,9,C,

7、的坐标分别是4(0,0,5),Bf(8,0,5)(8,3,5),D(0,3,5).反思领悟L若已给出坐标系,不用再建系,若未给出坐标系,建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;(2)充分利用几何图形的对称性.2.求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标.跟进训练1.在棱长均为2a的正四棱锥片力及力中,建立恰当的空间直角坐标系.(1)写出正四棱锥片力腼各顶点的坐标;写出棱阳的中点.的坐标.解如图,连接力G加交于点0,连接Y四棱锥R力成刀

8、为正四棱锥,且棱长均为24四边形ABCD为正方形,且POJ_平面ABCD.*OA=a.PO=PA* 1)的对称点为(筋 z).-OA2=J(2)2(2)2=2a以点。为坐标原点,0At0B,。尸所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,如图.正四棱锥Z2力四中各顶点坐标分别为N(a,0,0),8(0,2a,0),C(y2a,0,0),(0,-2a,0),P(0,0,2a).W为棱川的中点,0+02+00+20*-2,-2-,-2-A即J(O,y,当Q).Il类型2求对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中,点尸(-2,1,4).求点尸关于X轴的对称点的坐标;求点尸关于。灯平面的对称点的坐

9、标;(3)求点尸关于点(2,-1,4)的对称点的坐标.解(1)由于点尸关于X轴对称后,它在X轴的分量不变,在y轴、Z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为4(2,1,4).(2)由于点尸关于。灯平面对称后,它在X轴、y轴的分量不变,在Z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为月(-2,1,-4).设对称点为月(y,z),则点V为线段总的中点.由中点坐标公式,可得x=2X2-(一2)=6,y=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12,所以月(6,3,12).发现规律点P(x,y,Z)关于坐标轴,坐标平面对称的点的坐标与点尸的坐标有什么关系?提示:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反,如点(

10、筋八Z)关于y轴的对称点为(一筋八一z),关于OZX平面的对称点为(筋y,z).(X-31% = 5,y = 2, z = 3.=r等=2,解得.z-l1故点P(3,2,1)关于点V(1,2,1)的对称点为(5,2,3).Il类型3求空间向量的坐标【例3】在正三棱柱/1心力由G中,已知T的边长为I,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,并写出丽隔,温的坐标.解分别取5G笈G的中点0,,所以DC,DA,微两两垂直,以。为坐标原点,分别以比,DAfE的方向为X轴,P轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.设九j,A分别是x,y,Z轴正方向上的单位向量,因为止=4,Z=,所以44;=。;=

11、2k,AB=-DC-DA+DDl=2k,AC=DC-DA+DD=-yJ+2Ar,所以AA1=(0,0,2),481=(-2),ACl=&-2).反思领悟用坐标表示空间向量的步骤3.棱长为1的正方体力的45G中,E/,6分别为棱D仄,8。的中点,以而,AD,丽为正交基底,建系如图所示,求下列向量的坐标:Di福AF,AG;(2)EF,EG,DG.解在正交基底前,ADf初下,族忖荏+而+京,荏=前+:京,AG=ABAD,所以荏=(,1,3,存=(:,1,1),AG=(1p0).(2)EF=AF-AE=-AB+-AAlf221所以EF=G,0q);EG=AG-AE=AB-AD-Aa:,221所以丽=(

12、1,-,-1):DG=AG-AD=AB-AD,所以加=(1,-,0).学习效果课堂评估夯基础课赢百浏小结问题点评1.己知今,也,8是空间直角坐标系Oxyz中与X,y,Z轴的正方向相同的单位向量,若肉=a+aa,则6点的坐标为()A.(11,1)B.(a,a,&)C.(1,1,1)D.不确定D向量荏的坐标与8点的坐标不同,由于0点的坐标未知,故无法确定A点的坐标.2.己知点4(3,2,-3),则点力关于y轴的对称点的坐标是()A.(3,2,3)B.(32,3)C. (-3,2,3)D.(3,2,3)C点A关于y轴对称后,它在y轴上的分量不变,在*轴,Z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点的坐标为

13、(一3,2,3).3.如图,在长方体力必。4G中,Oi=3,0C=5,00i=4t点产是劣G的中点,则点产的坐标为()A. (3, 5, 4)C. G,5, 4),C1BB.(p3,4)D. (5,2)C由题图知,点尸在X轴、y轴、Z轴上的射影分别为尸”月,月,它们在坐标轴上的坐标分别是去5,4,故点是的坐标是住,5,4).坐标为西的坐标为4.如图所示,在正方体业。4台G中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则近的(1,0,0)(1,0,1)由题图可知,4(0,0,0),5(1,0,0),4(0,0,1),所以同=(1,0,0),西=再+同=(0,0,1)+(1,0,0)=(1,0,1).IHEl/QD囹回顾本节知识,自主完成以下问题:1 .在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系?提示:(1)观察图形,寻找两两垂直的三条直线,必要时作辅助线.(2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内.(3)充分利用几何图形的对称性.2 .如何确定空间一点尸的坐标?提示:先将尸投射(沿与Z轴平行的方向)到。灯平面上的一点4,由尸/的长度及与Z轴正方向的异同确定竖坐标z,再在0孙平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定R的横坐标X,纵坐标外最后得出点尸的坐标(x,y,z).3 .如何求空间向量的坐标?提示:在空间直角坐标系中,把向量用单位正交基底&J,给表示,从而求出空间向量的坐标.

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