第02讲圆-垂径定理(知识解读题型精讲随堂检测).docx

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1、第02讲圆垂径定理1.掌握垂径定理及其推论;2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.知识点1垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论1:1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧:2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法(考点):D过圆心,作垂线,连半径,造Rt,用勾股,求长度;2)有弧中点,连中点和圆心,得垂直平分知识点2垂径定理的应用经常为未知数,结合方程于勾股定理解答【题型1运用垂径定理直接求线段的长度】【

2、典例1】(2023南海区校级模拟)如图,线段。是OO的直径,CD_L4B于点、E,若48长为16,OE长为6,则Oo半径是()A.5B.6C.8D.10【答案】D【解答】解:连接04,如图,CDl.AB,1.AE=BE=Lb=Lx16=8,22在RtOAE中,OA=JOE2+AE2=62+8=1,即OO半径为10.故选:D.【变式11】(2023春开福区校级月考)如图,。的半径为5,弦4B=8,OC于点C,则。的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解答】解:9:OCLAB,AB=Sf1-*AC4AB=4,在RtZ8C中,04=5,AC=4t由勾股定理可得:OC=Voa2-AC2=52-

3、42=3-故选:C.【变式12】(澄城县期末)如图,OO中,OD上弦AB于点、C,交。于点。,08=13,/8=24,则OC的长为()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解答】解:.0DL4B,.JC=BC=Lb=工X24=12,22在Rt03C中,OC=JI32-122=5.故选:B.【变式13】(2023宿州模拟)如图,48是0O的直径,弦CQ_L48于点E.若OE=CE=2,则BE的长为()A.2B.22-2C.1D.2【答案】B【解答】解:如图所示,连接OCYOE=CE=?,弦于点E, 0C=0E2+CE2=V22+22=8=22j 75是。的直径,*0B=0C=22 *-BE=OB-

4、OE=22-故选:B.【题型2垂径定理在格点中的运用】【典例2】(2023平遥县二模)如图所示,一圆弧过方格的格点48,试在方格中建立平面直角坐标系,使点力的坐标为(0,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标是()A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(2,1)【答案】C【解答】解:如图所示,连接4G作出48、的垂直平分线,其交点即为圆心.Y点4的坐标为(0,4),该圆弧所在圆的圆心坐标是(-1,1).故选:C.【变式21(2022秋兴义市期中)如图,M(0,3)、N(0,-9),半径为5的OZ经过M、N,则A点坐标为()A.(-5,-6)B.(-4,-5)C.(-6,-4)D.(-4,

5、-6)【答案】D【解答】解:过力作于8,连接过4,:.MB=NB,Y半径为5的O/与y轴相交于M(0,3)、N(0,-9),;.MN=93=6,AM=5,:.BM=BN=3,08=3+3=6,由勾股定理得:J=52-32=4,点4的坐标为(-4,-6),故选:D.【变式22】(2022秋西城区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,一条圆弧经过4(2,2),B(4,0),O三点,那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的()A.点。B.点、EC.点尸D.点、G【答案】B【解答】解:如图,连接。儿根据网格看作出线段OL/5的中垂线,两条中垂线相交于点点E即为圆心.故选:B.【变式23】(2022秋南开区校级期

6、末)如图所示,在平面直角坐标系中,已知一圆弧过正方形网格的格点4B,C,已知4点的坐标为(-3,5),B点、的坐标为(1,5),。点的坐标为(4,2),则该圆弧所在圆的圆心坐标为(-1,0).【答案】(L0).【解答】解:根据不共线三点确定一个圆,如图,AB,SC的垂直平分线的交点即为所求,则该圆弧所在圆的圆心坐标为(-1,0).故答案为:(-1,0).【题型3垂径定理与方程的综合应用】【典例3】(2023寻乌县一模)如图,。的半径。_1弦48于点G连接力O并延长交。于点E,连接所.若48=4,CD=I,则欧的长为()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解答】解:由题意可知,。垂直平分48,4

7、E是。的直径,,CO是相的中位线,:.EB=IOC.在RtACO中,设CM=X,则OC=X-1,A2=C2+AC2f./=(-l)2+22,解得:Xx2即OA=y,0C,:.EB=2OC=3,故选:B.【变式31】(2021秋瑶海区期末)如图,在OO中,OE上弦于点E,EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F,若AB=FE=8,则。的半径为()A.5B.6C.4D.25【答案】4【解答】解:连接04如图所示:设0。半径为小则由题意可知:OA=OFfOE=EF-OE=S-r,又E上弦4B于点、E,JE=1ab=18=4,在RtOE中,AO2=OE2-AE1f即,产=(8-r)2+42,解得:r=5,

8、,0。的半径长为5.故选:A.【变式32】(2022秋宜春期末)已知:如图,。的直径4C与弦8。(不是直径)交于点E,若EC=I,DE=EB=2,求43的长.【答案】45的长【解答】解:连接。8,OD,则:OA=OB=Oe=OD=AC.YDE=EB=L即E为8。中点,ZC垂直平分80,XVEC=I,:.OE=OC-CE=OB-1,由勾股定理得:OE2+EB2=OB2,即:(OB1)2+22=082,解得:OB=,W,JAE=AC-EC=IOA-1=4,,AB=AE2+EB2=25即:ZB的长小.【题型4同心圆与垂井定理综合】【典例4】(2022秋梁山县期末)如图,在以点。为圆心的两个同心圆中,

9、大圆的弦48交小圆于C、。两点.(1)求证:AC=BD(2)连接。4OCt若OZ=6,OC=4f/OCD=60,求4C的长.【答案】(1)证明见解析;(2)26-2.【解答】(1)证明:过。作于,如图1所示:YOHLCD,:CH=DH,AH=BH,:.AH-CH=BH-DH,:.AC=BD(2)解:过。作。LCQ于“,连接OQ,如图2所示;则CH=DH=D,2VOC=OD,NoCD=60,0C。是等边三角形,:.CD=OC=A,:CH=2,*0h=VoC2-CH2=42-22=23AH=Voa2-OH2=62-(23)2=2V;.AC=AHCH=2遥-2.【变式41】(2022秋嘉兴期中)已知

10、在以点。为圆心的两个同心圆中,大圆的弦力8交小圆于点G。(如图).(1)求证:AC=BD(2)若大圆的半径R=I0,小圆的半径尸=8,且圆心O到直线的距离为6,求4C的长.【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明:过。作OEL45于点E,则CE=OE,AE=BE,BE-DE=AE-CE,即AC=BD;(2)解:由(1)可知,OEJ_48且OEJ_8,连接OGOA,/.OE=6,c=VoC2-OE2=V82-62=2V7,=VA2-OE2=V102-62=8,:AC=AE-CE=8-2我.【变式42】(2022秋浦江县校级月考)如图,在以。为圆心的两个同心圆中,大圆的弦48交小圆于C、。两点,若

11、48=10cw,CD=6cm.(1)求IC的长;(2)若大圆半径为13cm,求小圆的半径.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)作OEJ垂足为E,由垂径定理知,点E是Co的中点,也是力B的中点ae=1ab=s,CE=LCO=322:.AC=AE-CE=5-3=2cw;(2)连接040C,在RtZViOE中,AE=ScnuOA=3cm,*OE=JOA2-AE2=V132-52=12cm-在RtZxoce中,:CE=3cm,OE=I2cm,=7E2+CE2=V122+32=3V17(Cm).【题型5垂径定理的实际应用】【典例5】(2022秋赣县区期末)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点。为圆

12、心的圆的一部分.如果AZ是。中弦CO的中点,EW经过圆心。交。于点E,并且CZ)=4,EM=6,求OO的半径.【答案】见试题解答内容【解答】解:连接。C,.M是。弦。的中点,根据垂径定理:EMVCD,又Co=4则有:cm=Icd=2,2设圆的半径是X米,在RtZXCOM中,有OC2=C2+OM2,即:x2=22+(6-)2,解得:=l,3所以圆的半径长是辿.3【变式51】(2022秋信都区校级期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2,已知圆心。在水面上方,且。被水面截得的弦48长

13、为4米,。半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点,则点。到弦48所在直线的距离是()A.1米B.(33)米C.3米D.(3/)米【答案】D【解答】解:根据题意和圆的性质知点C为第的中点,连接OC交AB于D,则OCJAD=BD=/aB=2,在RtZXCMO中,04=3,AD=!.0D=A02-AD2=5j.*CD=OC-OD=35,即点C到弦AB所在直线的距离是(3-5)米,故选:D.【变式52】(2023武义县一模)如图,一个隧道的横截面,它的形状是以点。为圆心的圆的一部分,M是。中弦Cf)的中点,EW经过圆心。交。于点E.若。=6,EM=9,则。的半径为()A.4B.5C.6D.7【答案】B

14、【解答】解:Y是OO弦Co的中点,:.ENfVCD,VCD=6,cm=Icd=3,2设OC是X米,则OM=9-t在RtZXCOM中,有oc2=2+ow2,即:X2=32+(9-)2,解得:x=5,AOC=5.故选:B【变式53】(2023桐乡市校级开学)一面墙上有一个矩形门洞,其中宽为1.5米,高为2米,现要将其改造成圆弧型门洞(如图),则改造后圆弧型门洞的最大高度是()【答案】4【解答】解:如图所示,连接矩形门洞的对角线交于点0,过点。作OCBE于点D, 点0为线段48的中点,NZC8=90, 48为圆O的直径, 宽为1.5米,高为2米,AB=$2+22=2.5(米),;圆的半径=LB=L25(米),2*:ODVBE,,点D为BE的中点、,又Y点O为线段的中点,od=1bc=(米),2则改造后门洞的最大高度=1.25+1=2.25(米);故选:A.【典例6】(2023迎泽区校级一模)如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度48=

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