立体几何中的轨迹问题.docx

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1、立体几何中的轨迹问题一、知识点梳理一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力.以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线,圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略定义法:借助圆雉曲线的定义判断.坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交.等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决

2、.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为(090),圆雉的母线与轴的夹角为二(0时,截口曲线为双曲线.图图我们再从几何角度来证明.(I)如图,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点耳，F2.在截口曲线上任取一点P,过点P作圆雉的母线,分别与两球切于点QQ由球的性质可知I尸QI=I尸用疗0=|尸闾，于是IP凰+1PKI=IPQj+PQ2=Q02为定值这样截口曲线上的任一点P到两个定点的距离之和为常数、由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.Q?图(2)如图,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两

3、个球分别与截面切于点片，K在截口曲线上任取一点P,过点P作圆雉的母线,分别与两球切于点QvQ2.由球的性质可知IPQl=IP制,IPQj=IP用,于是IPEITpKI=IPQITP=IqqJ为定值，这样截口曲线上的任一点P到两个定点。,。2的距离之差的绝对值为常数，由双曲线的定义知，截曲线是双曲线.(3)如图,用平行于母线OM且垂直于轴截面OMN的平面夕去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点F.设a为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记ac/=/.在截口曲线上任取一点P,作直线与球相切于点兀连结PT,有IPFl=I.在母线QM上取点A3(3为QW与球的切点)

4、,使得IABI=I尸刀.过点P作尸Q/A8,有点Q在/上,且忻QI=IABI=IP外另一方面,因为平面OMN与a垂直.那么/平面OMN,有！上AB,所以1上PQ.于是截口曲线是以点F为焦点,/为准线的抛物线.图二、题型精讲精练1.平行.垂直有关的的轨迹问题平行有关的轨迹问题的解题策略L线面平行转化为面面平行得轨迹；2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.垂直有关的轨迹问题的解题策略1 .可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2 .利用空间坐标运算求轨迹；3 .利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1如图，在边长为。的正方体ABC中，E、尸、G、H、N分别是CG、GQhDDi、CD、

5、BC的中点，M在四边形MG”边上及其内部运动，若MN面AiBD,则点M轨迹的长度是（）【答案】D【分析】连接G、HN,有GHBA,HN/BD9证得面A由3面GN,由已知得点M须在线段G上运动，即满足条件，由此可得选项.【详解】解：连接G/AHN、GMY在边长为4的正方体44C74G）中，、尸、G、”分别是CG、CiDkDDi.CD的中点，N是BC的中点，则GH/HAitHN/BDt又G2B.yj6V2C.4D.y/S1【答案】A【分析】由题意，动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-M8的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解珈图,设ACBD交于。，连接SO,由正四棱锥的性质可得，

6、SO_L平面A8CD,因为ACU平面ABC故SO_LAC.又BDLAaSOcBD=O,SO,BDU平面SBD,故ACj_平面SBZ）.由题意，PELAC则动点尸的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABC。的交线，即如图川G,则AC_L平面EEG.由线面垂直的性质可得平面S8。/平面EFG,又由面面平行的性质可得EGS8,GFHSDtEF/BDt又E是边8C的中点，故EG、GF、E户分别为-SBC,SDC,.BCD的中位线.由题意BD=20,SB=SD=J2?+2=卡,故EG+EF+GF=g/+娓+2=娓+0.即动点P的轨迹的周长为6+2.S2. （2023安徽滁州安徽省定远中学校考模拟预

7、测）在正四棱柱ABC。-A4GA中，AB=I,AA=4,E为OR中点，尸为正四棱柱表面上一点，且GP，lE,则点尸的轨迹的长为（）A.5+2B.22+2C,25+2D.至+&【答案】A【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点G垂直于4E的正四棱柱的截面即可计算作答.【详解】在正四棱柱ABa）-A中，连接片A，AG,如图，AC.1B1D1,ER_L平面A冉GA，因为ACu平面ANCQ,贝4G，又BR,EDu平面EBR,EDeBn=D,则ACJ平面石片口，又BEU平面EBlR,则GABiEt取CG中点八连接ERF,在平面BCC因内过C作CQ_LB,交BBl于G,显然EFjlDG,而

8、Q_L平面BCGB”则成上平面8CC罔，有GGEF9又吊尸,尸EU平面修产E,FECBF=F,于是GGL平面8E,而BlEU平面以FE,因此CG1BiEf因为GGCAU平面GGA，GACGG=G，从而Bgj.平面CG入，连接AG,则点尸的轨迹为平面GGA与四棱柱的交线，即因为NBClG+NGC/=NGC/+NBFa=90,即有NqGG=N4尸C,又NCIBIG=NFGB于是C1B1G-FC1B1,有得g=（=2,B1G=Iw1OC12所以点P的轨迹长为AG+ClG+AG=2.+；+2=5+2.故选：A【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何

9、体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.3. （2023江西赣州统考二模）在棱长为4的正方体43CD-A/CQ中，点尸满足M=4AP,E,尸分别为棱BC,的中点，点Q在正方体ABC。-4与GR的表面上运动，满足AQ/面EFQ，则点。的轨迹所构成的周长为（）A,旭B,237C.旭D.返333【答案】D【分析】作出辅助线，找到点Q的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.【详解】延长4）,48,交E厂的延长线与,G,连接PG,PH,分别交切%DDl于R,T过点A作AKPG交B片于点K,过点A作AN/P交力R于点N,因为AKa平面Ea,PGU平面EFP,所以AK/平面仃P,同理可得AN/平面因为AKAN=A,所以平面E0/平面A