浅析计算不定积分方法之凑微分.docx

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1、浅析计算不定积分方法之凑微分不定积分是高等数学的基本内容和主要内容，该运算是求导运算的逆过程，而定积分的计算主要是用牛顿-莱布尼茨公式，使用牛顿一莱布尼茨公式的前提是找到被积函数的一个原函数。因此，不定积分是连接微分学和积分学的纽带。由于不定积分方法的灵活性和积分结果的不确定性，导致很多学员在计算积分的过程中常常觉得很混乱,找不到一个统一的方法进行计算。不定积分的常规求解方法主要包括利用基本积分公式直接积分、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，这两种方法的核心是“凑微分”。换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，第一类换元积分法的解题思路是首先利用g

2、（外公凑成微分形式力“幻,然后换元令=（幻使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式求积分，求出积分后再换元。其中最为关键的一步是凑成微分形式du（x）,也是学员们感到最困难的一步，因为题目中需要有心）心才能凑成微分形式力”幻，而往往不容易看出来，也就无法凑成微分的形式了，这正是凑微分的核心。由于“凑微分”方式灵活多样，单靠几个常见的凑微分并不能给学生足够的启示，因此我们将其归结为四种方法，以便学生易于掌握。1、能化成若干个函数的积分，观察各个函数能否凑微分，找出合适的求解如：求解不定积分时=JlnM（In工），因为d（lnx）=dx=Jvdw,这里的=InXo2、不能化成几个函数的乘积若一

3、个不定积分不能直接化成若干个函数的乘积或可以化成若干个函数的乘积但难以计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式接近,若接近，则依此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。rsinx1ax如：求不定积分J4+cosx时，rsinx,c1,z、1r1,zcosx.1.cosx._-dx=-d(cosx)=a()=arctan()+Cj4+cos2:j4+cos2x2I(COSX22222J3、能化成几个因式的乘积但难以凑微分若一个不定积分既不能化成若干个函数的乘积或能化成若干个函数的乘积但难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分的基本公式接近，则可以先利用恒等变形方法进行转化，然后进行相应求解

4、。如：求不定积分/,+I产时,b!：dx=6Zx=-arctanx+C(x2l)JX2J(x2+i)X4、分部积分法中的“凑微分”分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式的不定积分，分部积分法的关键是凑微分，即将拆分成火，设u=x,dv=cosxdx=d(sinx),xcosxcbc=xJ(sinx)=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C则容易求解。遵循上面的两个原则，实际计算中一个比较实用的方法是：对拆分成乘积的两个函数求导数，若函数类型发生变化则做“，没有变化则做口,全部没有发生变化则任选一个做即可，而且总结一个口诀“三指动，反对不动”，即三角函数、指数函数可以做反三角

5、函数、对数函数不能做U。如求解jCOSX公时，指数函数/和三角函数CO*求导后仍为指数函数与三角函数，函数类型没有发生变化，则可任选一个函数做展exsinxdx=JSin向(e*)=e*sinx-Je*cosxd=esinx-cosxd(ex)=evsinx-etcosx-exsinxAo将最后的式子中的JeXSinXd移项，再合并，然后可得Je*sinMx=；，(sinx-COSX)+C。此方法对于“凑微分”的选择来说是比较实用的，但在一定方面具有局限性。如求解不定积分卜2,公被积函数/求导得2x,被积函数e求导得e,类型仍然是幕函数和指数函数形式，因此应该任取一个做“即可，但通过下面的求解

6、发现并不是如此：解法:x2exdx=-exd(x3)=-x3ex-x3edx=-x3ex-exd(x4)(陷入333312无限循环)。解法(2):xexdx=x1dex)=x2ex-2xexdx=x2ex-2z(ev)=x2ex-2xJ(e)/产-2xexdx=x1ex-2xex+2ex+C=(x2-2x+2)e+C(简单明了)。为解决此缺陷，可以再给出一个选择及U的简单方法：把被积函数视为两个函数的乘积，按“反对累指三”的顺序，前者为后者为展如：求解不定积分JdcosMr时，被积函数YCOSX可以看成募函数炉与三角函数CoSX的乘积，按照“反对暴指三”的顺序取w=X2,V=COSX,其实，两种方法各有利弊，第一种方法拓展了学生的发散思维，但对于某些问题不能广泛应用，第二种方法虽然简洁、应用广泛，但是又限制了同学们发散思维的培养，因此，在学习中应注意二者结合，相互补充。通过上面的方法，我们几乎把不定积分的基本求解形式化的确定下来，在一定程度上减轻了学员们的压力，对于不定积分的求解步骤、方法形式化的讨论，是学员们领会到了微积分的无穷魅力。