导数定调情况多参数分类与整合.docx

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1、导数定调情况多参数分类与整合单调性是函数最重要的性质之一，导数是研究初等函数的单调性的常用方法.当函数解析式中含有参数时，对参数准确分类是研究单调性的第一步，也是非常关键且容易出错的一步.在近几年的高考题中，有相当一部分的题目都在围绕参数进行分类讨论.对参数进行分类讨论的总原则：fx)的符号,通过了(X)的符号讨论函数的单调性.对参数进行分类讨论的思想方法：高次函数的最高次项的系数的符号；二次三项式时，判别式的符号；根与区间端点的大小.下面，以几道高考题为例，体会含参单调性讨论的一般思路.真题解析1.已知函数/(x)=In(l+x)-x+x2(Z0).(I)当女=2时，求曲线y=/(%)在点(

2、1,/(D)处的切线方程；(II)求/(K)的单调区间.谋定思路有方向第（三）问，对于含参单调性讨论，需要关注导函数的具体形式，根据导函数确定讨论点.本题的导函数X)=丸竺上2,因为e(,+8),所以只需要考虑x(辰+4一1)何时取正，何时取负.在研究正负1+x时，需要对首项系数进行讨论，当Ao时根与区间端点的大小.I3解：(1)当女=2时，/(x)=ln(l+x)-x+x2,(x)=l+2x,由于/(l)=ln2,(l)=-1+x2所以曲线y=(x)在点(1,/(1)处的切线方程为y-ln2=(x-l)即3x-2y+21n2-3=0/H、c、x(kx+k-)/1、(II)f(x)=，x(-l

3、,+).1+x当A=O时，/(%)=一.所以，在区间(一1,0)上，,(x)0;在区间(0,F8)上，,(x)0.故1+x/(X)得单调递增区间是(一1,0),单调递减区间是(0,+8).当OvZ0所以，在区间(T,0)和(?,+8)1+xk上，,(x)0;在区间(0,t皮)上，/(X)VOk故/(X)得单调递增区间是(T,O)和(7,+8)，单调递减区间是(0,上士).k7当A=I时，,(x)=,故F(X)得单调递增区间是(一1,+8).1+x当人1时，/(X)=M+D=0,得不=lz(T,0),X2=O.1+xk所以没在区间（1,EK）和（0,+8）上，,（）0;在区间（!,o）上，,（）

4、0）在X=O处取得极值，且曲线y=/（x）在点（Ij）处的切线垂直于直线x+2y+l=0.（三）若函数g(x)=,讨论g(x)的单调性.f(x)解：(I)因/(x)=+b+Z(k0),V7)=2r+匕,又/(x)在x=0处取得极限值，故/(%)=0,从而6=0由曲线y=(x)在(1,f(D)处的切线与直线x-2y+l=0相互垂直可知该切线斜率为2,即/=2,有2a=2,从而a=lexex(x2-2x+k（三）由(I)知，g(x)=；-(0),g,(x)=)(A,。)X2+k(x+k)2令g(x)=。，有f-2%+k=。(&0)（1）当A=4-4Zl时，g（x）O在R上恒成立，故函数g。）在R上

5、位增函数px(2)当A=4-4攵=0,即当Z=I时，有g(x)=O(xl),从而当攵=1时，g(x)在R(r+1)上为增函数(3)当A=4-4Z0,即当OcAvl时，方程x2-2x+k=0有两个不相等实根X=I-Jl-Z,A2=1+/1-k当x(-8,l-l-l)时,gO,故g(%)在(-8,1-JI-A)上为增函数;当xw(l-,l+)时，g(x)v,故g(R)在(1-=T,l+JT仄)上为减函数;当xw(l+J匚工，+8)时，g(x)O,故g(x)在(1+,+oo)上为增函数变式练习1设函数/(x)=x+bx,曲线y=f(x)在点(2,7(2)处的切线方程为y=(e-l)x+4,(1)求。

6、，b的值；(2)求/(x)的单调区间.试题解析：(1)f(x)=xea-x+bx,/*)=(l-x)ei+b根据/=2e+2,(2)=e-l,得a=2ib=e；(2)方法1由题意知/(x)=Xe2-、小，由/(X)=(I-X)e2r+e=(i-+eT)及o知尸(X)与I-+”同号.令g(x)=lr+e*,则gU)=7+eAT当x(-8,l)时，g(x)v,g(x)在(-8,1)上递减；当X(l,+8)时，g,(x)O,g(x)在(1,+8)上递增；故g=1是g(x)在区间(-00,+00)上的最小值，从而g(x)0,x(-00,+).综上可知，f,(x)O,X(-,+),故/(%)的单调递增区

7、间为(-8,+8).方法2由题意知/(此二府一+依，由/)=(l-x)e2f+e,令g)=(l-x)r,所以g(%)=(A2),当X(-,2)时，g(x)O,g(x)在(l,+)上递增；所以g(x)的最小值是g(2)=1,从而尸(X)的最小值是f,(2)=g(2)+e=e-l0f所以F(X)在(-,+)上单调递增.方法3因为r(X)=(I-X)e2-+e,所以3(0=-2)e2r,因为当x(-co时，f,(x)0,尸(X)在(1,+00)上递增;所以尸(X)min=f=e-lO所以/(x)在(-oo,+oo)上单调递增.2已知函数/(x)=(x-)sinx+cosx,x(0,4).(I)当=5

8、时，求函数/(x)的值域；（三）当时，求函数的单调区间.解(I)函数/(X)的值域为(一1,1).(II)由题意得，f(x)=(x-a)cosX.当乙。时，/(x)的增区间是(泉。),减区间是(0微)和(。,乃).当乃时，F(X)的增区间是，减区间是(O,9.3己知函数/(x)=-2(x+)lnx+2-2&v-2/+。，其中0.(1)设g()是/(X)的导函数，评论g()的单调性；(2)证明：存在(O,l),使得f(x)O在区间(l,+oo)内恒成立，且/。)=0在(1,+oo)内有唯一解.【解析】(1)由已知，函数/(x)的定义域为(0,+8),992(x-)22(-)(x)=f)=2x-2

9、-2InX-2(1-),所以/()=2士+=4_.XXxx当0。L时，g()在区间(0,1-6-4。),(1+J1-4,+00)上单调递增，422,1Jl41+Jl-4,AA、皿、JA在区间(,)上单调递减；22当白L时，g(x)在区间(0,+oo)上单调递增.4/7X1111Y(2)由/(x)=2x-2-21nx-2(l+2)=0,解得=.Xl+xa/、C,X-I-Inxx.2X-I-Inx、.zx-l-lnxx2x-1-Inx令Q(X)=_2(x+)lnx+x2-2(-)x-2(-)2+1+x1+x1+x1+x则e(1)=10,(e)=-巡二学一2(W0,故存在(l,e),使得9(x0)=

10、01+e1+e令%=%!()=l-lnx(x1)由。)=1一0知，函数)在区间(1,+00)上单调I+XqX递增.所以O=罂产=/a=j，即为w(0,i)1+11+x+e1+eO当。=QO时，有尸()=oj(r)=*o)=o.由(1)知，函数/(X)在区间(1,中，。)上单调递增.故当x(l,)时，有rc)()=0;当x(/,+8)时，有r(%)0,从而/(冗)c)=0;所以，当x(l,+oo)时,/(x)O.综上所述，存在4(0,l),使得f(x)O在区间(l,+oo)内恒成立，且AX)=O在(1,+8)内有唯一解.X24(I)讨论函数f(x)=e的单调性，并证明当x0时，(x-2)ev+x

11、+20；x+2fix_jr_a(11)证明：当“w0,l)时，函数g(x)=；(x0)有最小值.设g(R)的最小值为7z(a),求函数3)的值域.【解析】(I)F(X)的定义域为(7,-2)5-2,田)./)=(x72)2).U+2)x2ex=0,且仅当X=O时，1(X)=O,所以F(X)在(一8,-2),(2,3)上单调递增，因此当0+2)x(0,+)时，=/(O)=-I,所以-2)-+2),(x-2)ex+x+20x+2/TT、(x-2)e+(x+2)x+2(II)g(x)=2=-(x)+4),XX由(I)知，/(x)+单调递增，对任意Q0,l),(0)+=。-l0,(2)+o=0,因此，

12、存在唯一/(0,2,使得/(X0)+。=0,即g=0,当OVXVAi)时,/(x)+0,g(x)时,/(x)+0,g(x)O,g(x)单调递增.因此g(x)在X=Xo处取得最小值，最小值为g(%)=*呼+1)=-.+I)=NL.XoXO+2ex(x+ex于是h()=-J,由(一-),=-r0,单调递增，所以，由小w(0,2,得飞+2x+2(x+2)2x+21 ee“e2e2ex1e2=-0(XW0),所以函数/(x)在(-,+)上单调递增；当0时，xf-co,-U(O,+8)时，f(x)O,xf-,0时，/(x)0,所以函数/(x)在(TO,g),(0,”)上单调递增，在(一与,0)上单调递减;当0,X0,时，f(力所以函数X)在(TAO),一丝,+OO上单调递增，在0,-上上单调递减.I3J13yl(2)由 知，函数“X)的两个极值为/(