刘蒋巍:用函数模型解决实际问题的基本步骤及考察的3个视角.docx

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1、用函数模型解决实际问题的基本步骤及考察的3个视角文/刘蒋巍一.用函数模型解决实际问题的基本步骤步骤L审题一一弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型.步骤2.建模一一将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型.步骤3.求模一一求解数学模型,得出数学结论.步骤4.还原一一将数学结论还原为实际问题.二.“函数模型”考察的4个视角视角1:利用函数的图象(图表)刻画实际问题例1高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为力时水的体积为则函数u=S)的大致图象是(B)【解析】y=z)是增函数,且曲线的斜

2、率应该是先变大后变小,故选B.变式(2020全国I卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度M单位:)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(刘,y)(j=1,2,,20)得到如图所示的散点图:(变式)由此散点图,在10至40C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是(D)A.y=a+bxB.y=+b/C. y=+加AD. y=abnx【解析】由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是y=a+bnx.视角2:根据已知函数模型求解实际问题例2某种物质在时刻rmin的浓

3、度M(单位:mgL)与t的函数关系为M(f)=c+24(,广为常数).已知在f=0min和/=Imin测得该物质的浓度分别为124mgL和64mgL,那么在,=4min时,该物质的浓度为26.56mWL;若该物质的浓度小于24.001mgL,则整数f的最小值为13.(参考数据:Ig20.3010)+24=124,?【解析】由题意知彳一解得。=Ioo,厂=卓所以My)=IO0%w+24=64,D。z+24,所以M(4)=l(+24=26.56,所以在f=4min时,该物质的浓度为26.56mgL.由100+2424.001,Wr(0.1)5,所以Ig(I卜Ig(M),,从而知g-5,所以flg2

4、(lTg2)v5,由lg20.3010,得。12.5628,所以整数,的最小值为13.变式基本再生数RO与世代间隔7是某疾病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在某疾病的发病初始阶段,可以用指数模型/Q)=e描述累计感染病例数/随时间,(单位:天)的变化规律,指数增长率/*与Ro,T近似满足Ro=I+/T.有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,7=6.据此,在某疾病的发病初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69)(B)B. 1.8 天D. 3.5 天A.1.2天C.2.5天328-1【解析】因为Ro=3.28

5、,T=6,Ro=I+4,所以r=0.38,所以/Q)=e=e38r.设在某疾病的发病初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为。天,则e38)=2e38/,所以e38=2,所以0.38九=ln2,所以h=SU.JoU.Jo1.8(天).视角3:构造函数模型求解实际问题例3已知生产口罩的固定成本为200万元,每生产X万箱,需另投入成本Pa)万元,当产量不足90万箱时,P(X)=+40x;当产量不小于90万箱时,P(X)Q1nn=IOLr+黄一2180.若每箱口罩售价100元,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润M单位:万元)关于产量M单位:万箱)的函数关系式;【

6、解答】当0x90时,y=100x-a-2+40200=-r2+60-200;当於90时,y=100-(101x+8-2180)200=1980Q+贵詈),所以yp?+60%200,0x90,(l8100、1980-卜+下J,x90.(2)当产量为多少万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得的利润最大?【解答】当OVXV90时,=-2+60-200=-(-60)2+1600l600;当x90时,y=l98O-G+31980-2-1=18001600,当且仅当X=W即x=90时,y取得最大值,最大值为1800万元.综上,当产量为90万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得的利润最大,且最大利润为1800万元.变式劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径,更是大学生服务社会、回报社会的一种良好形式.某大学生去一服装厂参加劳动实践,了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为工件时,售价为S元/件,且满足S=82O2x,每天的成本合计为600+2(k元,请你帮他计算日产量为,件时,获得的日利润最大,最大日利润为7.94万元.【解析】由题意易得日利润y=sx(600+20x)-x(8202x)(600+20x)=-2(-200)2+79400,故当日产量为200件时,获得的日利润最大,最大日利润为7.94万元.

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