刘蒋巍：复合函数的单调性、奇偶性和周期性.docx

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刘蒋巍：复合函数的单调性、奇偶性和周期性1复合函数的单调性定理一：若函数7=/(”)与=(x)在其定义域内同是单调递增或单调递减，则复合函数，=/(r)在定义域内是单调递增的:若)=/()=(x)在定义域内是一个单调递憎,一个单调递减则复合函数N=(x)在定义域内是单调递减的。证明：设卬X2是v=(x)定义域内的任意两点，且勺M。当y=/(“)与=，)都是单调递增或单调递减时，有：的=(X)112=(X2)，/(M1)/(2)或w=2=(2)/(1)/(2)，即总有/(Xl)0的解集为(-8.-3)U(I,+8),而(8.一3)(-8.-1).(I,+o)(-L+8),故在(-8.-3)内y=Cog2(x?+2x-3)单调递减，在(1,+8)内，y=Log2(x:+2x3)单调递增e2复合函数的奇偶性定理二：只有当函数=/()与W=(x)都是奇函数时复合函数y=/(x)J才是奇函数，否则N=/l=/()为奇函数，“(x)为偶函数时,/(-x)三(-X)三(x)三(X)=/()与“(x)中一个为奇函数，一个为偶函数时，y-fp()都是偶函数显然，当y=(”)与M=(x)都是偶函数时，y=/(x)J也是偶函数，因此定理成立C这个定理告诉我们：只要知道=/()和M=(x)的奇偶性，y=/MX)的奇偶性就马上知道了，而不需以一X代替X代入/(x)中去找/(一X)与/(x)的符号关系了.