凹凸反转（学生版）.docx

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1、凹凸反转凹凸反转问题专题阐述：很多时候，我们需要证明函数/(X)。，但不代表就要证明了(%)min,因为大多数情况下，的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点不行可尝试用凹凸反转.规律方法/(x)0og(%)心)，如果能够证明g(x),m,3)皿一则g(x)A(x)显然成立，很明显，g(x)是凹函数，/心)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求的问题的，两种方法互为补充.例题1.设函数/(x)=InXYI,(x)=(x2-l)-.(I)判断函数)=/(x)零

2、点的个数，并说明理由；(2)记MX)=g(x)7(x)+与资,讨论MX)的单调性；(3)若f(x)0时，MX)在(o,忐递减，在2【解析】1e(I)由题意得：o,.r()=+3,故/(力在(0,也)递增；又“)=,Xe/(e)=l-e,-e=l-JO,故函数y=(x)在(Le)内存在零点，y=(x)的零点个数是1;(2)h(x)=a(x2-1)-Inx+e,x+=ax2-a-nxf(x)=2v-=-(xO),XXe当0时，”（x）0,MX）在（0,也）递减,当。0时，由（）=o,解得：aJ=（舍取负值）,7士。x(,fj时，z(x)l时，Ma)0,K(X)在(L+)递增，K(X)K(1)=O,

3、即M6o,若0,由于Ql,故InXg(x),即当/(x)Vg(X)在(1，”)侬立时，必有。0,当。0时，设力(x)=(Y1)一InX,由（2）彳导（l,宣），（“递减，,M力递若忐1,即,即的”=看，使彳导/G)g(),故O0,即,故一/匚，rrLL,/illX?-2+1(X1)因此S(X)X+-T;=-_7-0，XXXXx故Sa)在(Lyo)递增,故Sa)s=0,即。舄时，Vga)在a，KC)恒成立,综上，ae；，+8)时，/(x)l.【解析】22证明：(x)=elnx+qei,从而人)1等价于工lnxxe-.设函数g(x)=xnx,贝Jgx)=l+lnx,所以当不()()时，g(x)()

4、.故g(x)在(咱上单调递减，在g上单调递增，从而K(X)在(0,y)上的最小值为“力=-(设函数MX)=Xe-1厕”(力=e-x(lr).所以当xw(O,l)时，(0；当XW(I,”)时，r(x)0时，g(x)M%),即/(x)l.3.设函数/(力=InX.(1)当。=-2时，求6的极值;(2)当。=1时，证明：/(x)-9+xO在(0,+e)上恒成立.【答案】(1)x)极大值为M2-3,无极小值；(2)见解析.【解析】(1)当。二一2时，/(x)=InX2x,/(+JI”),X7XX2X2当XW(0,2)时，r(x)O;当X(2,x)时，,(x)-7,即证XInX+l-7,设g(x)=xl

5、nx+l,则g(x)=l+lnx,在(0，)上,g()0,g(x)是增函数.所以g()gg)=3,设力(力=卷，贝必(力=,，在(0,1)上,hl(x)ol/)是增函数；在(1,)上，hf()o,(力是减函数，11所以g)l)=-l，所以(X)g(x)，BP0,gpinx+-O,即/(x)-+x0在(。,+上恒成立.针对训练1.设函数/(x)=,gM=nx+b,其中,6R是自然对数的底数(1)设尸(X)=Va),当=当时,求尸(X)的最小值;(2)证明：当=/,b-7时，证明：fM4gb.e2 .设函数f(X)=lnx+0.5ax2+x+i.(1) a=-2时，求函数f(x)的极值点；(11)当a=0时，证明xexf(X)在(0,+8)上恒成立.3 .已知函数f(x)=ei-ln(x+).当=g时，求/S)的单调区间与极值；(2)当4,1时，证明:/U)0.