平面解析几何讲义.docx

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1、平面解析几何讲义1 .直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角定义：当直线/与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角；规定：当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为S范围：直线的倾斜角Cr的取值范围是0,11）.直线的斜率定义：当直线/的倾斜角以名时，其倾斜角的正切值tan”叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母A表示，即&=tan;斜率公式：经过两点小,对，P?/,力心喝的直线的斜率公式为A=总.2 .直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件点斜式过一点、斜率J-Jo=Ar(X-Xo)与X轴不垂直的直线斜截式纵截距、斜率y=kx+b两点式过两点J-

2、JlX-XiJ2-Jl-X2-Xl与两坐标轴均不垂直的宜线截距式纵、横截距a+b=1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=Q(A2+B20)所有直线注：（1）求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.（2）根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.（3）截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.3 .线段的中点坐标公式若点尸1,尸2的坐标分别为(处，y),(X2,九)，线段P1P2的中点M的坐标为(By)9,此公式为线段PiPz的中点坐标公式.4 .两条直线的位置

3、关系两条直线平行与垂直两条直线平行：a.对于两条不重合的直线小2,若其斜率分别为肌、k29则有八，2-1=幻.b.当直线小/2不重合且斜率都不存在时，两条直线垂直：a.如果两条直线小/2的斜率存在，设为右、k19则有UbUh也=一1.b.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为。时，1Z2.两条直线的交点直线人Alx+B1y+C=()9l2iA2x+B2y+C2=(9则/1与，2的交点坐标就是方程的解.Ax+Bj+C=Oa2x+C2=O5 .几种距离两点P(x,Vl),P2(2,y2)之间的距离IPPzl=yxr-xiH-y-y点PO(X,yo)到直线/：4x+8y+C=0的距离d=;?一

4、yA2-rB2(3)两条平行线Ax+By+Ci=0与Ax+By+C2=O(其中C1C2)间的距离d=q-C2Ai+Bi*6 ,几个重要的结论(1)一般地，与直线AX+By+C=O平行的直线方程可设为Ar+By+/%=。；与之垂直的直线方程可设为B-Ay+n=().(2)过直线小4x+By+G=O与A2x+34+C2=0的交点的直线系方程为Ax+Bj+C+2(A2x+2j+C2)=0UR),但不包括Z2.(3):Ax+Bj+C=O,Z2:A2x+B2y+C2=则/i/2QA%-A23i=0,AiC2-A2Ci0.lA.l2AA27.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

5、方程标准式(工一a)2+。一)2=r2(r0)圆心C3,b)半径为r一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0充要条件：O2f2-4F0圆心坐标：(一芋，一9半径r=D2+E2-4F8.点与圆的位置关系平面上的一点M(X,加)与圆C:(Xa)?+。-b)2=rz之间存在着下列关系：()drM在圆外，即(XO)2+(yo-)22qM在圆外；(2)d=r=f在圆上，即(XO-。尸+。-b)2=r2M在圆上；(3)dvr=M在圆内，即(XO+0。一bpVr2QAf在圆内.9 .直线与圆的位置关系(-a2+y-b2=29由L+&+C=O(1)设圆。：(X。/+。一。)2=户，直线AAx+By+C=0,圆心C

6、(,5)到直线/的距离为d,消去y(或X),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为4则直线与圆的位置关系如下表一_方法位置关系几何法代数法相交d0相切d=rA=O相离drJr9圆心距为心则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含几何特征dR+rd=R-rR-rdR+rd=R-rd0)上一点M(XO,yo)的切线方程为xox+w=r2;过圆x2+y2+Ey+尸=O(D2+加一4户0)外一点N(,b)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为万的切线长公式为INTl=NC2一3(其中C为圆C的圆心，为其半径).(3)求圆的弦长的常用方法几何法：设圆的半径为r,弦心距为

7、d,弦长为则g)2=户一代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(X1,j),B(x2,y)9则IAbl=N1+&2|XiX2=1+H+必2-4X1X2.12.椭圆(1)定义：在平面内与两定点尸人尸2的距离的和等于常数(大于IB尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)集合：若集合P=MM尸i+MP2=2q,FF2=2c,其中2q2c0,即0c0,则”的轨迹是以后、B为两焦点的椭圆，且EBI=2c是椭圆的焦距.椭圆的标准方程和几何性质标准方程a+方=1390)y2X2%+r=13A0)图形a1B2吸一y4?AikAOCFyA2

8、XBi外bOB2xy范围-aa-byb-bxb-ayfl对称性对称轴：X轴、V轴对称中心：(0,0)顶点AlGa,0),A2(a,0)B(Orb),B2(0fb)A(0,-),A2(O,a)31(也0),B2(0)轴长轴4遇2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距F1F2=2c离心率e=(Oe0).当mn()时，方程表示焦点在X轴上的椭圆.当心机0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆.当椭圆焦点不明确时，要分焦点在X轴上与J轴上两种情况进行讨论求解.13 .双曲线(1)定义：平面内动点P与两个定点尸1、尸2(|尸1尸2=2c0)的距离之差的绝对值为常数20(0v2v2c),则点尸的轨迹叫双曲线.这两个

9、定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.(2)集合：若集合P=MIMPILlMF2=20,IA尸2=2c,其中2c200,即cO,则尸点的轨迹是以尸1、尸2为两焦点的双曲线，且I尸IBI=2c是双曲线的焦距.实轴线段44叫做双曲线的实轴，它的长IAlA2=2叫做双曲线的半实轴长虚轴线段8/2叫做双曲线的虚轴，它的长|Bi&|=2b力叫做双曲线的半虚轴长。、b、C的关系c2=24-b2(cO,cbO)注：渐近线为mxty=O对应的双曲线方程为n2-ly=Z当双曲线焦点不明确时,要分焦点在X轴上与y轴上两种情况进行讨论求解.14 .抛物线平面内与一个定点厂和一条定直线尸曲）的距离相等的点的轨

10、迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线.其数学表达式：IMFl=d（其中d为点M到准线的距离）.抛物线的标准方程和几何性质图形TKNT.计生木标准方程y2=2px(P0)y2=-2px(PO)x2=2py(P0)x2=2py(p0)P的几何意义：焦点F到准线/的距屋;顶点0(0,0)对称轴J=Ox=0焦点哈。）代,o)2)加芍）离心率e=l准线方程x2x2y=-2y=范围x0,jR0）的焦点弦.设A（XI,Jl）,B（X29J2）,则有2yyip29XIX2=4,AoaAob=-4（定值）.好+1 A.B=x+xi+p=jX2P = SiIl2 夕(A为直线/13的斜率，夕

11、为倾斜角)，当夕=90。时，AB=2p即为通径(最短的焦点弦).15 .直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为网时0)的直线/与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x19ji),(x29y2),则A=y+k2X-X2=1Ar2X+x22-4X1X2l+ly-J2=l+jl+j22-4jj2.16 .“点差法”求解弦中点问题的步骤设点一设出弦的两端点坐标代入一代入圆锥曲线方程作差一两式相减，再用平方差公式把上式展开整理一转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解17 .曲线与方程一般地,在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程人工，y)=0的实数解建立了如下

12、的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.18 .求动点的轨迹方程的一般步骤建系建立适当的坐标系.(2)设点设轨迹上的任一点P(x9y).(3)列式列出动点尸所满足的关系式.(4)代换一依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为X,y的方程式，并化简.证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.（二）考点剖析考点一：求直线的方程例h（1）根据基本几何条件求直线方程求经过点（一2,3）在y轴上的截距为一1的直线/的方程；待定系数型直线方程一条直线经过点A（-2,2）,并且与两坐标轴围成的三角形的面

13、积为1,求直线的方程.解：（1）法一：（两点式）直线/即经过两点（一2,3）与（O,-1）由两点式得三言=：二，二即2x+y+l=0.法二：（点斜式）可设直线/的方程为丁一3=左（某+2）.令*=0得/在），轴上的截距b=2k+3.3+3=-1,.A=-2解得所求的直线方程为j-3=-2（x+2）,即2x+y+l=0.法三：（截距式）可设直线/的方程为2+*=1.231;，过点（一2,3）,-+=1,解得。=一3UX/所求的直线方程为+嗨=1,即2x+y+l=0-2设所求直线的方程为科方=L224（-2,2）在此直线上，一+1=1/1）又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,3他I=L由可得,a-b=l, ab=2(a-b= -1