圆锥曲线的解题技巧.docx

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1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为（项，y）,。2，%），代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。22如：（1）靛+涛=1（。0。）与直线相交于八、B,设弦AB中点为M（XoNo）,XV（2）/一F=I（Q00）与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M（XO伙）则有ab（3）y2=2px（p0）与直线I相交于A、B设弦AB中点为M（XO伙）,则有2y0k=2pz即Vok=p.典型例题给定双曲线/一=1。过A（2,1）的直线与双曲线交于两点及舄，求线段

2、68的中点P的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点p,与两个焦点大、K构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P（x,y）为椭圆+方=1上任一点，耳（一。，），K（Go）为焦点,PFF?=a,ZPF2F1=o（1）求证离心率e =sin(z + )Sina+ sin （2）求IP卬3+P项3的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2=

3、p(+l)(pO),直线+y=t与X轴的交点在抛物线准线的右边。(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OALOB,求P关于t的函数f(t)的表达式。(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。(1),可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；

4、对于(2)首先要把ANAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题,函数思想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0),过M(az0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,AB2p(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交X轴于点N,求aNAB面积的最大值。(5)求曲线的方程问题1.曲线的形状已知

5、这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在X轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。2.曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)典型例题已知椭圆C的方程+4=1,试确定m的取值范围，使得对于直43线y=4x+m,椭圆C上有不同两点关于直线对称(7)两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用占&=止&=T来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线/的斜率为3且过点P(-2,0),抛物线Cy2=4(

6、x+1),直线/与抛物线C有两个不同的交点(如图)。（I）求的取值范围；（2）直线/的倾斜角。为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线3x+4y+m=0与圆/+/+-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若ORLOQ,求用

7、的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点0,焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+l相交于P、Q两点，且OaLoQ,IPa=孚，求此椭圆方程。（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆G：/+y2-4+2y=0和x2+y2-2-4=0的交点，且圆心在直线/：2x+4y-1=。上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角

8、代换法。X2V2典型例题P为椭圆三+=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上ab端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y=履+人代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2+bx+c=0的方程，方程的两根设为0,Xb，判别式为4,则A3=Jl+r凡T8=m卷,若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例求直线X-+l=0被椭圆/+4/=16所截得的线段AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线

9、的定义，可回避复杂运算。元2v2例F1K是椭圆会+=1的两个焦点，AB是经过的弦，若IABl=8,求f2a+f2b利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例点A（3,2）为定点，点F是抛物线V=4x的焦点，点P在抛物线），2=4%上移动，若IpAI+1P短取得最小值，求点P的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1 .直线方程的形式(1)直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容k k夹角公式：tan=7I I Av Av 1倾斜角与斜率Z=tan,。0,1)点到直线的距离d=Ar+为：C2+b2(3)弦长公式直线y=丘+6上两

10、点4(不凹),8(%,七)间的距离：AB=1+2x1-x2=5(1+2)(1)2-4l2或IABI=l+p-y1-y2(4)两条直线的位置关系4_L4=K%2=Tk/1?=k=k?且bb?2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)22标准方程：工+匕=1(m0,0且机mn距离式方程：J(X+cf+y2+J(X-C)2+式=2a参数方程：x=ccos,y=bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程：-=Kn0)mn距离式方程：IJ(X+c)2+y2_J(AC)2+/I=2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆:更；双曲线:也；抛物线：2Paa(4)、圆锥曲线

11、的定义你记清楚了吗?如：已知、鸟是椭圆?+?=1的两个焦点，平面内一个动点M满足MElT段=2则动点M的轨迹是()A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式:P在椭圆上时，Sfpf=2tan-nP在双曲线上时，S.ff=b2t-小勺rr22(其中 NFiPF1 =8,cos0 =,两%二 西Il隹IcOSe )jPF1I2+IPF212-4c2IPF1I-IPF2I(6)、记住焦半径公式:(1)椭圆焦点祗轴上时为4%;焦点在y轴上时为Qe%，可简记为“左加右减，上加下减”。(2)双曲线焦点在X轴上时为e|/|。(3)抛物线焦点祗轴上时为I石I+多焦点在y

12、轴上时为IMl吟(7)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？椭圆：b2+c2=a2双曲线：a2+b2=c2第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(X1,y),(2,y2,),代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。22设Aa,必)、(x2,2),为椭圆7+y=1的弦AB中点则有2222/221/22、生+竺=1,工+红=1；两式相减得+8二山=。434343H-%Xx+_(y-乃Xy+乃)3nA-o=&八8二43AB劭2、联立消元法：求弦长：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方

13、程，使用判别式A0,以及根与系数的关系，代入弦长公式。两交点问题：设曲线上的两点AaM）,5*2，%），将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为V=丘+人，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4/+5V=80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；（2）若角A为90。，AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析

14、：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为9（）。可得出ABAC,从而得52+必为一14（必+%）+16=0,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;解：（1）设B（何必），C（Z,%）,BC中点为（Xy）,F0）则有2222二+二=1,9+&=120162016两式作差有区+以）572）+（-力）（%+%）=0+=0（I）201654F（2,0）为三角形重心，所以由三=2,得=3,由M+4=o得No=_2,代入（1）得k=S直线BC的方程为6x-5y-28=02)由ABJ_AC得XlX2+必必一14(必+y2)16=0(2)设直线BC方程为y=kx+d代入4/+5/=8(),得(4+5k2)x2+10Mx+5b2-80=0-IOkb_5b2-80代入(2)式得9b32b16AiZjZH_p.Ij45P=0斛得力=4（舍）或。=-y+直线过定点（0,-3,设D（x,y）,贝=,BP9y29x2-32y-16=0所以所求点D的轨迹方程是/+(卜豹=(争2(4)。3、设而不求法、/例2、如图，已知梯形ABCD中网=2卬|,点E分有向线段起所支刁成的比为人双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当j4j厂时，求双曲线离心率e的取值