借助隐零点二次导等工具解决导数问题.docx

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1、借助隐零点，二次导等工具解决导数问题题型一：借助隐零点解决导数问题典型例题例题L已知函数/(x)=e*-InK-1,R.若a=l,求函数f(x)的单调区间；若x)有且只有2个不同的零点，求”的取值范围.例题2f(x)=xex-a(x+Inx).当=e时，求/(x)的最小值；当=l时，有/(x)2(2)x+l恒成立，求的取值范围.例题3.已知函数/(x)=e-mnx在x=l处的切线方程为.v=(2e+l)Ab(,0R)求实数，匕的值；当KW时，/(力-2e-x+WVO恒成立，求正整数/的最大值.精练核心考点1 .已知函数X)=与竺,(0,乃).若f(x)l,求实数的取值范围;(2)若 = 4,且

2、 f () = (w),5，求证：+2且 - .v2-2 .已知函数求f(x)的单调区间和极大值；若/(x)lnx+(6-2)x-x2+l恒成立，求实数。的取值范围3 .已知函数/(x)=e*2+v,eR(1)若函数/()是增函数，求4的取值范围；已知A(N,y)、B(Z,%)(Ovn.题型二：通过二次求导解决导数问题典型例题例题L已知函数/(x)=E+lnx,(oR)(1)若函数/(x)在区间Le上的最小值为3,求实数，的值；(2)若不等式/(x)0).(1)当。=2时，求/(x)在0,+)上的最大值；X2若r(ln%)=r(lnx2)=，则当再取得最小值时，求的值.参考答案例题L【答案】函

3、数/(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(2)(0,1).【详解】(I)(x)=er-,-p,(l)=0,gW=,(.v)=etl-,(x)=el+。恒成立,XX所以r()在(o,+8)递增.所以当XW(0,1),(x)0所以函数/(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+8).(2),(x)=aet-1-p当。=1时，由(D知f(x)有且只有一个零点.当40时，,(x)=aer-时，=10,又因为y=()的图象在区间(0，+8)上连续不间断，所以rfLl,使得r(x)=0,即加3-，=0.a)XO令g(x)=e-J,(x)=erl+所以/(x)=g(x)在区间(O,+)上单

4、调递增，所以当XW(O,/)时，z(x),()=o,函数/(X)单调递增.所以/(r)min=/(XO)=eT-h)Xo7TnXOT17=。，XO所以/(x)无零点.令(X)=InX-(X-1),当xl时，,(x)=-l1,wA(x)A(I)=O,所以 InX .当Oal时，,(l)=a-l0所以r(x)=g(x)在区间(O,+)上单调递增，所以当XW(O,/)时，(x)o)时，(x)()=O,函数/(x)单调递增.所以f()min=)=优3Tnxo-l=-ln/-li-2111-1axl-2(-l)-l=-2-+l0,又因为函数/(力在区间(0,为)上单调递减，在区间(吃,物)上单调递增，且

5、y=()的图象连续不间断，gle0,所以/(X)有且只有2个零点.综上，若函数x)有且只有2个零点，则实数。的取值范围是(0,1).例题2.【答案】0(2)b0,即/(x)0,f(x)在(LM)上单调递增，故f(x)f(l)=O,所以/(x)的最小值为0.(2)由已知泗-(+111力“力一2)%+1在%(0,430)上恒成立,即AeX+x-Inx-1加在XW(O,)上恒成立,也即一+AlnxTNb在XC(O,欣)上恒成立.令G)=史出产1,x(0,-o),所以U(X)=1%；InL令x)=V+Inx,则P(X)是(0,+)上的增函数,又因为3(：):/一一0,所以。(同在区间(0,1)上存在唯

6、一的零点餐,即e%+Inx0=O,由片e+In/=0得 M=-g=Ljlj哈XOXoXoI)乂由函数夕(H=AeX在区间(0,e)上单调递增，卜式等价于q(xo)=q(lnj11%1所以=ln=TnX0,e=,当x(0,/)时，(x)O,f(x)单调递增，所以(x)min=tM=AOe+斤一./=1+.+/-1=2,xo所以力2例题3.【答案】=-1,b=e+l(2)3【详解】(1)定义域为(。*),r()=(z)*,(l)=2e-=2e+l/(l)=2e+l-=e解得=-l,b=e+.(2)由题意有(/一2)炉+111工一工+相0恒成立，即mv(-x+2)e-InX+%恒成立(x)=(-x+

7、2)ev-lnx+x,Xe,g，(X)=(IT)卜一).当xl时，l-x0,2令MX)=e、一L其中x；，则(x)=e*+9O所以函数人(力=-：在Xe上单调递增因为；)=6-2O,所以存在唯Fe(g,1),使得MXO)=小一，=0,即小。=,可得Xo=Tn/.Z)当gxv/时，gO,此时函数g(x)单调递减，当xvl时，g0,且XW(U)时SinX0,故/(X)Wl成立;当。0时，即为/(x)maG由广(力=。-,令r()=o,得X=4，当X时，附x)0;当xe(%)时，(x)O:所以/(x)在(0,单调递增，在(；,，单调递减，所以幻2=d5卜言1,即oo,且X(O,乃)时SinX0,所以

8、,min设g()=J则小)(”。吟令/(X)=。，得X=?snxsinX4当xw1()时，gCv)O:所以g(x)在(0,?)单调递减，在“单调递增，所以g(%)min=g(2)解法一：/(力=誓J，二”F.当可呜时，小)0；0,()单调递增，在万J单调递减，故0%?公先证1一芭VX2,由(_内，故即证/(X2)/(一，由f()=f(w),故即证/(%) .-4( SinX-COSX)-TW=上单调递减，所以MX)力O0 sinx2,即证乃一X2 sin(-x2),x2 设，二万一，故即证4Oe设 g(f) = esinf TJ w则，(，)=($出/+8/)-1,设p(f)=e(sin/+C

9、OSf)-1,则p(f)=2ecosf,当时，p(r)O:当TfS引时，pH。，所以p()e(o,j)单调递增，在(5,当)单调递减,又P(O)=0,目=滔-10,(当卜-10*32缶丁一3乃=44所以g(f)O,即SSimT0,故SinX2.TT解法二：证明耳-x2的方法同解法一./(力坐J，”*时,)=oj,()=r,cee则/(可在X=万处的切线方程为y=(x-万),下面证W(X,-兀)则(X)=丁,当了S时，。0;当xe(S时，4)所以叫使得/(o)=0,故r(x)在单调递减，在(公,1)单调递增，又由=*鸣%泮Se4r(x)O,即二(一%)4寸产2,所以?sinx,.ee2e22.【答案】/(x)的单调增区间为(FT)和(0,