例题与探究（5.2.2复数的乘法与除法）.docx

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1、ac + bd x = J, c +d-hc-ad 好百彳于是有(a+bi) (c+di) =ac +ad be - ad .c2 -d1+ c2 +J2高手支招3综合探究进行复数的除法运算的步骤利用复数的除法定义：把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+diO)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,记作(a+bi)(c+di)或生,从而利用复数相等求得x,y的值即可.c+diV(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,(c-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得5-Cy=解这个方程组得.dx+cy=b.在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)

2、(c+di)写成空妙的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轲复数c+dic-di,化简后，也可以得出上面的结果.高手支招4典例精析【例1】工=1-ni,其中m、n是实数，i是虚数单位,那么m+ni=()1+/A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i思路分析:可先将旦=ni去分母后展开化简，再利用复数相等解之.lz此题也可将等式左边分母实数化,再利用复数相等解之.m-n=1+n,tn=2.将土=IFi两边同乘以l+i,得In=(I-ni)(l+i)=l+n+(Ln)i,由复数相等法那么，得!从而1+/n=1,n=1,所以m+ni=2+i.答案:C5一【例2】复数77=()l-2zA. iB.-

3、1C.22-ID. -22+i思路分析：此题可以直接进行分母“有理化”(即分子分母同乘以分母的共姬复数)，化简解得，或由观察得出：将分子化简后,分母乘以i那么可以得到分子,从而解得.原式二正二二史普=巫黑=i.l-2z(l-2)/+2答案:R1C【例3】假设复数z=-+-i,那么l+z+z2+z3+z2006()22A. 01/o思路分析：由于Z=-+i正好是的一个值，故具有特性，即l+z+z2=0,利用此式，原式即可化22简.l+z+z2+z+z2.中连续三项的和均为零，由于l+z+z2+z?+z2006的项数2007项正好是3的倍数项，故所求的和式为零.答案:A例4如果复数(11)2+i)

4、(1+mi)是实数，那么实数m等于()A.1B.-lC.2D.-五思路分析：要使一个复数为实数，那只需要一个条件：虚部为0.将原式(m2+i)(Hmi)展开，得/+mi+i+miJGnnO+Gn+l)i,令其虚部为零，即m3+l=0,三Pm=-l.答案:B例5假设复数(l+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数)，那么b等于()1 1A.-2B.-C.-D.22 2思路分析：(l+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+l)i,依题意2-b=0nb=2.答案：【)【例6】设a是实数，且一+11是实数,那么a等于1 +z2A.-B.1C.-D.222RHj.八a,iztm-41Zc(-Z

5、)1z+l+(l+ci)iEua1+，=业_上“丁卡Dr思路分析：先化简+=-+=,因为+是实数，故其虚部为零，即1+Z22221+/2=0,从而得a=l.2答案:B【例7】设复数Z满足此&二i,那么Z等于()zA.-2+iB.-2-1C.2-1D.2+i阳版八好1+2z.俎l+2i(l+20z9.思路分析：由=1,得z=；=2-1.zzii答案:C【例8】设x、y为实数，且上+二一=二,那么x+y=.l-z1-2z13z思路分析:先将原式两边的分母实数化,然后再利用复数相等即可求得+y的值.将原式分母实数化，得色(l+i)2(l+2i)=(l+3i),即5x(l+i)+2y(l+2i)=5(

6、l+3i),即2510X = T y = 5,(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,利用复数相等的充要条件得J5+2)-5-0,解得5x+4y-15=0,x+y=4.答案：4例9计算以下各式：(l)i2w+(+ii)8-(一)50；(2)(-i)6.1-/22思路分析：(D充分利用(li)=+2i及i%=ik将高次冥化为低次冥.利用的性质解答.解：)%+5i)巫)吗i+2(l+i)24-251-z(I-/)22=i2+(4i),-()2s=-l+256-i25=255-i;-Ii(2)V=-+-i,.,.-i=-,.*.(-i)6=(-)6=(3)2=1.222222【例10复数z=

7、0)二I，假设z2+az+b=l+i,试求实数a、b的值.2-/思路分析:要求实数a、b的值，需先确定复数Z的值，而要确定复数z,需对复数Z进行化简，主要通过复数乘方,加减运算，最后通过分母实数化,从而化得结果.标.-2/+3+3/3+/(3+/)(2+0解：z=l+,2-i2-z5z2+az+b=(l+i)2+a(l+i)+b=(a+b)+(2+a)i,由zaz+b=l+i,二b=实数a、b的值分别为T,2.2+4=1,b=2,例11f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.思路分析：需要先利用式求出z,再将-Z代入f(z)=2z+z-3i中计算.解:Vf(z)=2

8、z+z-3i,，f(z+i)=2(z+i)+z+i-3i=2z+2i+z-i-3i=2z+z-2i,又知f(Z+i)=6-3i,.2Z+z-2i=6-3i,即2z+z=6-i,设z=a+bi,那么Z=a-bi,于是有2(a-bi)+a+bi=6i,所3a=6,ta以，解得a=2,b=l,z=2+i,-b=-1,f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【例12】计算：(一巫一Li)(21g)8.22l-3思路分析：一且一11二式一+且。，1-61=(-2)(-,+立。，由此,原式可以化简.222222解：原式=i +2 2(1 +炉=1 1+)4(g +争)9

9、I=I+16(+i)22=-7+83i.【例13】复数Z产i(l-i)3.(1)求zj(2)假设IZI=I,求IZ-ZJ的最大值.思路分析：(1)求模应求出复数的实部与虚部,再利用a+bi=J+b2得出.(2)是考查复数几何意义的应用.M：(l)z1=i(l-i)3=i(-2i)(l-i)=2(l-i),zl=22+22=22.(2) iz=l可看成半径为1、圆心为(O,O)的圆，而点Z1可看成在坐标系中的点(2,-2),z-zj的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点距离的最大值，由右图可知z-za=2j5+l.【例14】证明：在复数范围内，方程Izl-(l-i)z-(l+i)z=*(i为虚数

10、单位)无解.2+z思路分析:将条件化简后再由复数相等来解.证明：原方程化简为IzA(l-i)z-(l+i)Z=l-3i.设z=x+yi(xyR),代入上述方程得/+y2-2xi-2yi=l-3i.将(2)代入(1),整理得8x2-12x+5=0.V=-160,，方程f(x)无实数解，原方程在复数范围内无解.高手支招5思考发现1 .利用某些特殊复数的运算结果，如(li)2=2i,(-L立。小=i,=-i,i的黑的周期性,22i1-i1+i对于简化复数的运算大有好处,在计算上经常用的结论最好能熟记，以便加快解题速度.2 .在化简运算中，要注意运用i、的性质，如当3=_+立i时有：2269=2,3=l,-co,n+n+l+nt2=0(nN*),in+in+1+in,2+in3=O(nN*3.在解题过程中，假设能充分利用共励复数的性质对问题进行等价变形、化简，可使复杂问题简单化,事半功倍.