《专题19计数原理与二项式定理(解析版).docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题19计数原理与二项式定理(解析版).docx(17页珍藏版)》请在优知文库上搜索。
1、专题19计数原理与二项式定理一、知识速览二、考点速览知识点1两个计数原理1、分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案.在第1类方案中有旭种不同的方法,在笫2类方案中有种不同的方法,完成这件事共有N=m+n种不同的方法。2、分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤.做第1步有,种不同的方法,做第2步有种不同的方法,完成这件事共有N=%种不同的方法。3、两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.知识点2排列与
2、组合1、排列与排列数(1)定义:从个不同元素中取出m(m)个元素排成一列,叫做从个不同元素中取出6个元素的一个排列.从个不同元素中取出m(m)个元素的所有排列的个数,叫做从个不同元素中取出用个元素的排列数,用符号M表示.(2)排列数的公式:=w(w-1)(w-2)(-wl)=-.n-ny.特例:当M=H时,=!=11(w-1)(w-2)321;规定:0!=1.(3)排列数的性质:4;=吮小M=J-止=一心;然=m一n-mn-m2、组合与组合数(1)定义:从个不同元素中取出?(m)个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出加个元素的一个组合.从个不同元素中取出次(相个元素的所有组合的个数,叫做从个不
3、同元素中取出用个元素的组合数,用符号C:表示.(2)组合数公式及其推导求从个不同元素中取出加个元素的排列数,可以按以下两步来考虑:第一步,先求出从这个不同元素中取出M个元素的组合数C:;第二步,求每一个组合中m个元素的全排列数;根据分步计数原理,得到4:=Cr4因此CJ翌/()(2)(+1).A:m这里,加M,且m*这个公式叫做组合数公式.因为M=7,所以组合数公式还可表示为:特例:c=c1nvn-my.注意:组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法!在以后学习排列组合的混合问题时,一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题.公式c;=(T)52)(-切+1)常用于具体数字计算,mC:=
4、一片二常用于含字母算式的化简或证明.m(n-m)(3)组合数的主要性质:C:=CL;C:+C;M=C2.3、排列和组合的区别(1)组合:取出的元素地位平等,没有不同去向和分工.(2)排列:取出的元素地位不同,去向、分工或职位不同.【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题,它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序,不需要考虑顺序的是组合问题,需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合,后排列”.知识点3二项式定理1、二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=Can+11rt+Cna
5、n-rhr+q,Zw(wr),通项公式:T=Crnan-rbr,表示展开式的第+1项:,(3)二项式系数:系数C:(r=0,1,2,,)叫做二项式系数,(4)两个常用的二项展开式:(-b)n=Can-Cnan-lb+(-l)rCnanr+(-l)n)(l+x)=l+C%+CM+C+x2、二项式展开式中的最值问题(1)二项式系数的性质:每一行两端都是I,即c:=c:;其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,即CM=CA设笫厂+1项系数最大,应有;“一,从而解出,来.R3、二项展开式中的系数和问题(1)二项式系数和令=)=1,则二项式系数的和为C)+C+C+q+禺=2”,变形式C+c;+c;+q=2
6、-.(2)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中,令=l,b=-1,贝IJdY+C:Y.+(-rq=(i-r=o,从而得到:C:+Q+C:+Cf+=C:+C;+。;川+=;-2=2”.(3)若f(x)=anxn+aa_1xn,+an,2xn2+a1x+a0,则常数项:令X=0,得%=(0)各项系数和:令x=l,得/=+q+/+%+%.一、求解排列应用问题的六种常用方法1、直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2、优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3、捆绑法:相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列;4、插空法:不相邻问题,先考虑不受限
7、制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5、定序问题除法处理:对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后再除以定序元素的全排列6、间接法:正难则反、等价转化的方法【典例11(2023上贵州贵阳高三校联考阶段练习)贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来,被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神,更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文,同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕,为庆祝比赛顺利结束,主办方设置一场扣篮表演,分别由
8、重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演,贵州队作为东道主,扣篮表演必须在第一位及最后一位,那么一共有()种表演顺序.A.A;B.C;A:C.A;A:D.A;A:【答案】C【解析】由题意易知,一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为A;,在确定其余6人顺序为A3由分步乘法原理可得一共有A;A:种顺序.故选:C.【典例2】(2023上重庆高三重庆一中校考阶段练习)现有4男3女共7个人排成一排照相,其中三个女生不全相邻的排法种数为()A.A;A;B.A;-A;A;C.A:A;D.A;-A;【答案】B【解析】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形,即A;-A;A;,故选:B
9、.【典例3】(2022上贵州贵阳高三贵阳一中校考阶段练习)高三年级某班组织元旦晚会,共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目,出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”(可以不相邻),则这样的出场排序有()A.24种B.40种C.60种D.84种【答案】B【解析】五个元素的全排列数为A;,由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”2种排法,所以满足条件的排法有年x2=40.故选:B.【典例4】(2023湖南永州统考一模)为全面推进乡村振兴,永州市举办了“村晚兴乡村”活动,晚会有走,去永州扬鞭催马运粮忙数幸福乡村振兴唱起来四个节目,若要对这四个节目进行排序,要
10、求数幸福与乡村振兴唱起来相邻,则不同的排列种数为(用数字作答).【答案】12【解析】由于数幸福与乡村振兴唱起来相邻,所以两者“捆绑”,则不同的排列种数为=12种.【典例5】(2023上上海高三延安中学校考期中)从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛,要求每个项目都有人参加,则甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.【答案】54【解析】若甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛,共有A;=60种不同参赛方案.若没有甲、乙入选的不同参赛方案共有A;=6种,所以甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有60-6=54种.二、组合问题的常见类型与处理方法(1)含有或不含有”某些元素的组合
11、题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:若直接法分类复杂时,逆向思维,间接求解.【典例1】(2023上河北邢台高三校联考期中)现有红色、黄色、蓝色的小球各4个,每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球,若这3个小球颜色不全相同,且至少有一个红色小球,不同取法有(A.160种B.220种C.256种D.472种【答案】A【解析】若取出的球中有1个红球,不同的取法有C;c;=112种;若取出的球中有2个红球,不同的取法有C:C;=48种.故不同取法有112+48=160种.故选:A.【典
12、例2】(2023云南高三校联考模拟预测)2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假,公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外,淄博烧烤火爆全国,则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有()A.1800B.1080C.720D.360【答案】B【解析】恰有2个部门所选的旅游地相同,第步,先将选相同的2个部门取出,有C:=6种;第二步,从6个旅游地中选出3个排序,有A:=120种,根据分步计数原理可得,方法有6x120=720种;4个部门所选的旅游地都不相同的方法有A:=360种,根据分类加法计数原理得,甲、乙、丙、丁四个部
13、门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有720+360=1080种.故选:B三、分组分配问题的解题思路分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:完全均匀分组,每组元素的个数都相等;部分均匀分组,应注意不要重复;完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种:相同元素的分配问题,常用“挡板法不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配;有限制条件的分配问题,采用分类求解.【典例1】(2023上江苏常州高三统考期中)将5本不同的书分发给4位同学,其中甲、乙两本书不
14、能同时发给某一位同学,每位同学都发到书,每本书只能给一位同学,则不同的分配方案数为(用数字作答)【答案】216【解析】5本书送4人,每位同学都发到书,每本书只能给位同学,共有240种方案,甲乙两本书同时发给某一个同学,每位同学都发到书,每本书只能给一位同学,则剩余3本书分别给3位同学,有A:=24种方案,综上,不同的分配方案数为240-24=216种.【典例2】(2023上广东广州高三空港实验中学校考期中)将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作,每个比赛现场需要两人,则甲、乙安排在一起的概率为.【答案】;【解析】将四人分成两人两组共有裳=3种,再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有3xA;=6种,又甲、乙安排在一起共有C;A;=2种,所以甲、乙安排在一起的概率为尸=9=:.63【典例3】(2023上安徽高三宿城一中校联考阶段练习)某高校开设了乒乓球,羽毛球,篮球,