专题12.2离散型随机变量的分布列、均值与方差【解析版】.docx

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1、专题12.2离散型随机变量的分布列、均值与方差【核心素养】1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，凸显数学抽象、数据分析的核心素养.2 .理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养.3 .能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学运算、数学建模的核心素养.知识点一离散型随机变量的分布列1 .离散型随机变量的分布列(D随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X匕-等表示.(2)离散型随机变.量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，

2、这样的随机变量叫做离散型随机变量.随机变量的线性关系：若J是随.机变量，=a+b,其中6是常数，则也是随机变量.2,分布列的两个性质PiO,/=1,2,w；P+P2+P=13.分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.3.常见离散型随机变量的分布列(D两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01Pi-pP其中0pl,则称离散型随机变量X服从参数为P的两点分布.其中P=P(X=I)称为成功概率.(2)设离散型随机变量X可能取得值为再，xtt，X取每一个值七=1,2,的概率为P(

3、X=X)=Pi,则称表XX2-VPPlPiPiP,为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.有时为了表达简单，也用等式P(X=XJ=R,i=1,2,表示X的分布列.知识点二离散型随机变量数字特征1 .均值若离散型随机变量的分布列为X芭X2七PPxPiPiP1,称E(X)=XPl+句%+Xe+ZP为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.若y=Y+b,其中。力为常数，则y也是随机变量，且E(Y+6)=E(X)+6.若X服从两点分布，则E(X)=p；2 .方差若离散型随机变量的分布列为XX2PPlPiPiPn则(七一E(X)2描述了王(:1,2,相对于均值E(X)的偏离程

4、度，而。(X)=(Xj-E(X)Z=I为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(Ar)为随机变量X的方差，其算术平方根亚河为随机变量X的标准差.若Y=Y+b,其中凡。为常数，则丫也是随机变量，且。(Y+b)=/O(X)若X服从两点分布，则Q(X)=P(lp).3 .六条性质(1) E(C)=C(C为常数)E(OX+b)=aE(X)+b(力为常数)E(Xl+X2)=E(X1)+E(X2)如果M,A2相互独立，则E(XIXz)=E(XJE(k)O(X)=(*2)YE(X)2(6) D(aX+b)=a2D(X)200-30012345、300400和400以上.

5、X是一个随机变量，其分布为2111773.,4040404040,分布通常可用更直观的图像来表示，如下面的条形图所示.例12.(2023上高二课时练习)设离散型随机变量X的分布列为：求随机变量袱=2的分布列.【答案】答案见详解【分析】由离散型随机变量的性质，可得加=0.3,再由=牙2的对应关系可得解.【详解】由离散型随机变量的性质，可得ZM=O.3,依题意知，”的值为0,1,4,9,16.列表为：X01234X1014916从而=X2的分布列为:014916P【总结提升】求分箫列的三种方法1 .由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量K并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数

6、据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据.由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义.2 .由古典.概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出才取各个值的概率.而超几何分布就是此类问题中的一种.3.由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及次独立重复试验有次发生的概率求离散型随机变量的分布列.【变式训练】变式U(2023上高二课时练习)设离散型随机变量X的分布列为：X01234Pm求随机变量=IX-Il的分布列.【答案】分布列见解析【分析】由题意随机变i5=X

7、-1的可能取值为0,1,2,3,求出对应可能取值的概率即可得解.【详解】由题可知知根=I-0.2-0.1-0.1-0.3=0.3,列表为：X01234IXT1Pm=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,(,7=3)=P(A=4)=0.3.故二X-1的分布列为:变式12.（2023全国高二课堂例题）全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下:分数O12345人数01312204现从该班中任选名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列.【答案】答案见解析【分析】根据古典概率公式求P（X=i）,i=0,l,2,3,4,5,然后甸得分布列.【详解】解：由题意可得P(

8、X=O)=30，P(X=I)$=0.025,312P(X = 4)P(X=2)=言=0.075,P(X=3)=本0.3,0.1.=0.5,P(X=5)=-40v740题型二：离散型随机变量的分布列性质【典例分析】例21.（2023下吉林长春高二长春外国语学校校考期中）设随机变量X的分布列为P（X=i）=i=1,2,3,则。的值为（）16D.7【答案】A【分析】由分布列中所有概率和为1求解.1 11Q【详解】由题意：+=2 487故选：A.例22.随机变量X的分布列如下，其中a,b,C成等差数列，则P(IXl=I)=M公差d的取值范围是.X-101PabC_11【答案】L?1【解析】因为a,b,

9、c成等差数列，所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=；,所以即I=I)=a+c=.又aOO11191911=-d,c=-+d,所以0(一d6,0-+d-,所以一d.33333333【总结提升】1 .离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.2 .对于分布列易忽视其性质p+.2+=1及B0，=L2,/其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.3 .确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可

10、能取值表示的事件是彼此互斥的.4 .利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.【变式训练】变式21.(2023下河北石家庄高二校考阶段练习)下表是离散型随机变量X的分布列，则常数。的值是()【答案】C【分析】根据分布列的性质运算求解.【详解】由题意可得：+y+-=1,解得=g故选：C.变式22.(2023上高二课时练习)若离散型随机变量X的分布列为:1 - 5A.1 - 4B.则。=()C-D32【答案】A【分析】由离散型随机变量分布列的性质，即概率和等于L得解.【详解】由离散型随机变俄分布列的性怎可.知，2+3=l,所以=故选：A.题型三：由随机变量

11、的分布列求概率【典例分析】例31.【多选题】(2023下河南周口高二校联考期中)已知离散型随机变量X的分布列为X1246Pmn则下列选项正确的是()A.m+n=0.1B.若，=0.3,则P(X3)=0.5C.若用=0.9,则=-0.2D.尸(X=I)=2P(X=6)【答案】ABD【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由分布列的性质，可得0.2+加+0.1=1,解得m+=0.7,所以A正确；对于B中，若勿=0.3,可得=0.4,则尸(X3)=P(X=4)+P(X=6)=0.5,故B正确；对于C中，由概率的定义知M070,所以C不正

12、确;对于D中，由P(X=I)=O.2,P(X=6)=0.1,则P(X=I)=2P(X=6),所以D正确.故选：ABD.【答案】【分析】【详解】例32.(2020下辽宁大连高二大连八中校考阶段练习)设离散型随机变量X的概率分布列如下:X123456789102222222223323334353637383。则P(X=IO)=.3919683由分布列中概率和为1可构造方程，结合等比数列求和公式可求得结果.2222由分布列的性质知：+铲+y+歹+m=1,xl14)I11则2二J)+北=号+加=,解得：w=-,即尸(X=Io)=五.13故答案为：至.【变式训练】变式31.(2023上高二课时练习)随机变量E的分布列如下:其中26=+c,则P(归|=1)等于()【答案】D【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为1可求.【详解】Q26=a+c,且+6+c=l,解得b=g,2.p(=)=p(=-)+p(=)=a+c=2b=.故选：D.变式32.(2023下福建福州高二校联考期中)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=1(i=l,2,3,4,5),a则P(2X5)=()1 139A.-B.-C.-D.32510【答案】C【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得。