专题03与直线有关的最值直线系方程问题（解析版）.docx

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1、专题03与直线有关的最值、直线系方程问题，常考题型目录题型1类比两点之间距离问题2题型2距离之和型的最值问题5 类型1点共线型5 类型2换元型8题型3距离之差型的最值问题11题型4截距之和型的最值问题14题型5点到直线距离型问题15题型6周长型的最值问题17题型7面积型的最值问题19题型8距离乘积型的最值问题21题型9距离的平方和型的最值问题26 类型1距离平方和问题26 类型2与函数结合型29 类型3与导数结合型29题型10平行线间距离型的最值问题31题型11导数与平行线间的距离结合型33题型12直线系方程问题36 类型1平行直线系方程问题36 类型2垂直直线系方程问题37 类型3相交直线系

2、方程问题37Q知识梳理知识点一.三种距离公式类型条件距离公式两点间的距离点Pl(Xlfy),P2(x2,加之间的距离IBPW二yX2-Xi2+y2-y2点到直线的距离点Po(XO到直线/：Ax+By+C=O的距离Axo+Byo+C两平行直线间的距离两条平行线Ax+y+Cl=0与4x+By+C=O间的品巨离C1-C2d-lA2+B2知识点二.两个充要条件(两条直线平行或重合的充要条件直线I1：Alx+Biy+Ci=O与直线I2:A2x+B2y+C2=O平行或重合的充要条件是A1B2-A2B1=0.两条直线垂直的充要条件直线h：4x+By+C1=O与直线I2:A2x+2y+C2=0垂直的充要条件是

3、出小+BiB2=0.知识点三.三种直线系方程(与直线Ax+By+C=O平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR且mC).0与直线Ax+y+C=O垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=O(n.过直线l,Alx+Biy+G=()与2.A2x+B2y+C2=O的交点的直线系方程为A1x+Biy+Ci+(A2x+B2y+。2，=0仅口划，但不包括/2.CR题型分类题型1类比两点之间距离问题【例题/函数f(x)=x2+2x+5+%2-6x+10的最小值是()A.5B.4C.1+25D.17+2【答案】A【分析】本题将f(x)转化为点Pao)到两定点4(T2),8(3,1)的距离和，然后利用将军饮马模型，得

4、到距离最值即可.【详解】f(y)=x2+2x+5+W-6x+10=7(x+I)2+(02)2+(x3)2+(0-I)2/则其几何意义为点P(KO)到两定点4(-1,2),8(3,1)的距离和，点(0)表示为横坐标上的点，作出如图所示：根据将军饮马模型，作出点A关于X轴对称点/(T-2),连接/B,交X轴于点P,则/(x)min=M川=7(3+I)2(12)2=5,此时直线A8的直线方程为y-1=j(x-3)令y=O,则X=，故当=g时，f(%)min=5故选：4【变式1-111.著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：J

5、(X-)2+(y-b)2可以转化为平面上点May)与点N(,可的距离.结合上述观点，可得f(%)=x2+10x+26+42+6%+13的最小值为()A.55.29C.13D.2+13【答案】C【分析】记点P(X,O)、4(一5,1)、(-3,-2),可得出f(x)=PA+PB,数形结合可求得八幻的最小值.【详解】因为f(%)=+5)2+1+(x+3)2+4=(%+5)2+(0-1)2+(+3)2+(O2)2f记点P(x,O)、4(一5,1)、8(3,-2),则f(x)=IP川+PBAB=(-5+3)2(1+2)2=13,当且仅当点P为线段4B与X轴的交点时，等号成立，即/(%)的最小值为g故选

6、：C.【变式2.函数f(x)=(x-l)2+9+Ja-5)2+4的最小值为【答案】4l【分析】根据两点距离公式的几何意义可得f(%)表示P0)到点4(L3),B(5,2)距离之和，作点4(1,3)关于X轴的对称点4,根据对称的性质结合不等式分析可得IP川+PB=PA1+PBA1B,运算求解【详解】/(x)=(x-l)29+(x-5)24=(x-l)2+(0-3)2+(x-5)2+(0-2)2f根据两点距离公式的几何意乂得，函数f(x)表小P(X,0)到点A(1,3),8(5,2)距离之和,如图所示，作出点4关于X轴的对称点41(1,-3),连接28,交汇轴于点21,连接。4。8/4/142/1

7、力1,可得IPAl+PB=PA1PB,P1A+IPlBl=P1A1+PlBt又由P4J+PBP1A1+IPIBl=AlB=(1-5)2+(-3-2)2=41,当且仅当点P与匕重合时，等号成立,所以IPAl+PB=PA1PF41,即函数f(%)的最小值为I故答案为：41【变式皿】3.代数式J2+3-2)2+J(X-I)2+(*3)2的最小值为()A.23B.10C.22D.6【答案】B【分析】由两点之间距离公式分析出J2+-2)2+J(%l)2+O3)2表示P(无到4(0,2)、8(1,3)的距离之和，求出做0,2)关于y=x对称点为力(2,0),连接交y二厅点P,此时P4+PB最小.由两点之间

8、距离公式可以得到Jx2+(2)2表示点Pa,X)到A(0,2)的距离，2+(x3)2表示点Pax)到3(1,3)的距离，所以代数式J+(-2)2+J(%-i)2+3)2表示PA+P8,由图像可知产(%)在y=X在运动，所以易得4(0,2)关于y=x对称点为力(2,0),连接4B交y=x于点P,此时PA+P8最小，最小值为-l)2+(0-3)2=W.故选：B.题型2距离之和型的最值问题类型1点共线型【例题2-1】已知平面内点一定点4-3,1)点MN分别是X轴和直线2x+y-5=0上的两个动点lAM+MN的最小值为.【答案】岑%5【分析】利用对称性,作点4(31)关于X轴的对称点a(3,i),am

9、+mn=m+mm,利用数形结合求MMI+1MNl的的最小值.【详解】作出点4(31)关于X轴的对称点力(31),则MMl+1MNl=MM+MN,I最小值即为/(3)到直线2x+y-5=0的距离d=曙=等,所以HMI+1MM的最小值为等.故答案为：争.【变式2-11.已知点4(3,-1),8(5,-2),且点P在直线x+y=O上,若使IP川+P8取得最小值,则点P的坐标为()A(M-)B得，-引C(-22)O(2,-2)【答案】A【分析】首先求出A(3,-1)关于直线X+y=0的对称点C(l,-3),再求出直线BC,与直线X+y=0求交点即可.【详解】因为4(3,-1)代入直线+y=0得到3-1

10、0,B(5,-2)代入直综+y=0得到5-20,所以4B在直线Xy=0的同侧.设4(3,-1)关于直线Xy=0的对称点为C(m,n),(n+l_尸=，解得MA,即C(I，-3)所以岫C=言=；,lBC-.y+2=i(x-5),BPx-4y-13=0.+2-所以广第。=。=二|，即P(MY)M【变式2-12.在平面直角坐标系内A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-/)的距离之和最小的点的坐标是【答案】(2,4)【详解】取四边形48CQ对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值.可证明如下：假设在四边形相C。中任取一点乙在/尸。中，有4P+PC4C,在BPD中，有PB+PDBD

11、,而如果产在线段4C上，那么4P+PC=C;同理，如果P在线段8。上，那么8P+PQ=8D如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是力。与8。的交点.易求得/Y24).【变式2-1】3.在平面直角坐标系中，点力，8分别是X轴、y轴上的两个动点，有一定点M(3,4),则IM川+IABl+田M的最小值是().A.9B.10C.11D.12【答案】B【分析】依题意，作图，分两类讨论：当A与8重合于坐标原点。时；当月与B不重合时，从而可求得答案.【详解】依题意，作图如下：设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(-3,4),关于无轴的对称点为Q(3,-4)则M8=PB,MA=MQ|,当A与8重

12、合于坐标原点。时lMA+MBI+IBMl=IPol+0Q=IPQl=3-(-3)2(-4-4)2=10；当4与B不重合时,如图,MA+AB+BM=PB+AB+AQPQ=10；当4与B重合于坐标原点O时，IMAI+AB+8M取得最小值IO.故选：B.【变式2-114.已知点PQ分别在直线&X+y+2=0与直线%：x+y-l=0,且PQ1。点4(-3,-3),81)，则MPl+由QlIQBI的最小值为.4.零8.13+C.13D.32【答案】B【分析】设力(-1一5，则四边形QP为平行四边形，故而4P+IPQl+IQBl就是Mbl+苧+1QBI的最小值I又4Ql+苧+Q8的最小值就是4B+乎.kA

13、A=1,故4/1,所以AAIlPQ,又MA=挈,所以|44=PQ,故四边形/L4QP为平行四边形，4P+IPQl+IQBl=WQI+苧+IQM,因为Mq+QBAB=13,当且仅当K,Q,B三点共线时等号成立，AP+PQ+IQM的最小值为11+苧，选8【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点(在直线上)与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.【变式2-1】5.已知点P,Q分别在直线A：x+y+2=0与直线：x+y-l=0,且PQJuI,点A(33),8(2,1),则MPI+PQ+Q8的最小值为.答案3舟E【分析】考察直线上的动点到直线两侧两定点距

14、离之和的最小值，由IPQl为定值，求4P+PQ+QB的最小值，要先求4P+Q8的最小值,转化求Q+QB的最小值，利用“三角形两边之和大于第三边”这一几何结论可得.,三Fwr【详解】如图：J由平行线间的距离公式得IPQI=等=苧,过点4作垂直于的直线，并lz+lz2截取44 =PQ ,设点力(x0ly0)+ -3 yo32v32一此因3-2 3-2- -= =22X X3 - 2 G 点DD苧=14du贝则四边形力力QP是平行四边形，则有4P+QB=Mq+Q848,当4,Q,B三点共线时等号成立，4P+PQ+QB苧+孚J4P+PQ+Q8的最小值为吟电.类型2换元型【例题2-2】过定点M(l,2)作两条相互垂直的直线小I2,设原点到直线k%的距离分别为山、d2,则d+d2的最大值是.【答案】lo【分析】根据数形结合，结