9-2椭圆及其性质-2024.docx

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1、9.2椭圆及其性质基础篇考点一椭圆的定义及标准方程1.（2023届广州阶段测试,3）记p:“方程（怯1）r+（3加）V=1表示椭圆”，g：“函数/（x）=+（e2）x无极值”，则是g的（）A.充耍条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B2. （2021新高考I,5,5分）已知产1,B是椭圆C+=l的两个焦点,点用在C上,则IMFlHMF2的最大值为（）A.13B.I2C.9D.6答案C3. （2021浙江嘉兴一中开学考）已知P为椭圆t+=I上一点,若P到一个焦点的距离为941,则P到另一个焦点的距离为（）A.3B.5C.8D.12答案B4. （2022广东深圳中学

2、月考,6）已知直线/:尸x+1与曲线Cx2W=I相交于A,8两点,F（0,-l）,则然的周长是（）A.2B.22C.4D.42答案D5. （2023届江苏省包场高级中学检测，13）已知椭圆+若=1,长轴在），轴上.若焦距为2,则相等于.答案76. （2021全国甲，理15,文16,5分）已知Q,B为椭圆C+=l的两个焦点,P,Q为CIo4上关于坐标原点对称的两点,且IPQ=IaF2,则四边形PFlQF2的面积为.答案8考点二椭圆的几何性质1. （2022武汉二中月考,5）已知椭圆J+y2=（g）和双曲线_尸=（加有相同焦点，则（）A.=m+2B.n=a+2C.a2=rn2+2D.m2=a2+2

3、答案A2. （2019北京理,4,5分）已知椭圆W+=1（ab的离心率为士则（）A.2=2B3a2=4b2C.a=2hD.3a=4b答案B3. （2023届广东佛山顺德教学质量检测一,6）己知四边形A5CD是椭圆C+V=I的内接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形ABCO为矩形,则四边形ABCO的面积的最大值为（）A.43B.yC.3D.42+26答案A4. （2022河北秦皇岛三模,5）已知椭圆+，=1（a比0）,F（-3,0）为其左焦点,过点F且垂直于X轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tanN40FW（O为原点），则椭圆C的长轴长等于（）A.6B.12C.43D.83答案C5

4、. （多选）（2022河北衡水冀州一中期末，10）已知椭圆Cw+g=l（a0）的右焦点为F,点尸在椭圆C上,点。在圆氏（x+3）2+（4）2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆。外,若IPQHPA的最小值为25-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正确的是（）A.椭圆C的焦距为2B.椭圆C的短轴长为百C.PQ+PF的最小值为25D.过点尸的圆E的切线斜率为言立答案AD6 .(2021浙江，16,6分)已知椭圆盘+(ab0),焦点F(C,0),F2(c,0)(c0).若过R的直线和圆(-c):产=/相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PBLx轴,则该直线的斜率是,椭圆的离心率是.答案等

5、B7 .(2019课标In理，15,5分)设R,B为椭圆C+l的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若AMQB为等腰三角形,则M的坐标为.答案(3,15)考点三直线与椭圆的位置关系1.(多选)(2022福建莆田二中模拟，10)已知椭圆C=+岸l(a),焦点HQGO),2(c,O)(c0),下顶点为B过点Fx的直线/与曲线C在第四象限交于点M,且与圆A:(x+2c)2+V=g相切,若丽钻=o,则下列结论正确的是()A.椭圆C上不存在点Q,使得QF1QF2B.圆A与椭圆C没有公共点C.当。=3时,椭圆的短轴长为26D.F2B-LFiM答案AC2.(多选)(2022山东荷泽二模，11)已知椭圆：y+

6、=l的左,右焦点分别为F1,F2,直线x=m(-V2m0),由l+b2b2A(Lm在C上可得T+盘=1，解得b2=3或6=卓舍去)，故椭圆C的方程为9+7=1.设直线AP:V-I=Z(X-1),AQy-I=-MX-1),(y_|=k(1),联立221肖去y整理得(3+4d)x2-(8Ai2Qx+4%2-i2h3=0,土+匕=1,143Wn(mil,iSk2-12k44fc2-12k-3设P3,y),则=r=65=%(介1),丁尸6+8k2，lllp4k2-12k-3-12k2-12k+9人03+4“2-6+8k2-Jf以代替“，得。(e等)，24k_.秘=Ql=雷=3,即直线/的斜率为;.XQ

7、FE222yr25. (2020天津,18,15分)已知椭圆巳+=1(abO)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为Ft且IoAI=OE,其中。为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足30C=和,点8在椭圆上(8异于椭圆的顶点)，宜线AB与以。为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.解析由已知可得43.记半焦距为c,由IOFl=IoAl可得c4=3.又由a2=b2+c2i可得=18.所以椭圆的方程为3+-=1.因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以A6_LCP.依题意知,直线AB和宜(y=k-3,线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为产质3.由方程组/y2消去必

8、可得(6+.=1，(26M)X212U0,解得广O或广标.依题意,可得点B的坐标为(悬,票习.因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,3),所以点P的坐标为(就7五三)由30C=OF,-3得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为亨；即“2:人.又因为CP,所以-12kZ-6k+l2k2q37=-L整理得2&2-3-1=0,解得鸟或A=L所以直线AB的方程为尸#3或y=x-3.6.(2022山东济宁三模,21)已知椭圆上:5+。1(公历0)的左、右顶点分别为A、B,点厂是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上,且IQQ的最大值为3,椭圆E的离心率为去(1)求椭圆E的方程；(2)若过点A的直线与椭圆

9、E交于另一点P(异于点B)t与直线x=2交于点MNPFB的平分线与直线户2交于点N,求证:点N是线段的中点.1QFma=+c=3,解析由已知可得|=三a2a2=2+c2,a=2,22解得b=3,因此椭圆上的方程为亍+$1c=1.证明：由对称性,不妨设点尸在X轴上方.当直线P/7的斜率存在时，因为FN平分NPFB,所以NPFB=2NNFB,所以tanNB=三i,即h产篇设直线AP的方程为广屋x+2),其中k0,联立消y可得(4乃+3)/+16&+16R-12=0,设点P(x,y),则以尸嗡言,所以第=黑，则3+2)二送p即点尸(黑,黑)，12k_所以kpF=*1=备，X1-I6-8fe1l-4k

10、23+4k2设直线FN的方程为y=m(x-),则点N加，把x=2代入广攵G+2)得y=4kf即M(2,4k),因为M=熬Q所以号=彘，整理可得(2k-m)(2to+l)=0,因为切0,所以m=2k,所以=三=,所以点N为线段的中点.当直线P尸的斜率不存在时,不妨设点尸(1卷)，则直线AP的方程为G+2),所以点M(2,2),又因为直线HV的方程为y=x-l,所以点N(2,1),所以点N为线段的中点.综上可知,点N为线段BM的中点.综合篇考法一求椭圆的标准方程1.（2022江苏苏州中学月考,7）已知椭圆C：W+，=l（a0）的左、右焦点分别为离心率为今过B的直线/交C于A,8两点,若“尸山的周长

11、为43,则椭圆C的方程为（）y2A.y + y2 = l2 v2C二+J=I128答案BbX + =i322 v2DN +J1242. （2022全国甲文，11,5分）已知椭圆C：4+A=I（Ab0）的离心率为;,AhA2分别为C的左、右顶点,8为C的上顶点.若西两=-1,则C的方程为（）2y22v2A+77=1B.-+-=l181698v2v22C9+5=d.=i答案B3. （2019课标I文，12,5分）已知椭圆C的焦点为长（1,0）,尸2（1,0）,过户2的直线与C交于A,B两点.若IABl=2B仇A5=3B,则C的方程为（）f22y2A+y2=lB.-+v=l2J322丫22y2C.V

12、+-=1D.W14354答案B4. （2022河北保定部分学校期中，16）已知椭圆。的中心为坐标原点,焦点在），轴上,FhB为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点尸,使得IPBI=6|PB|,写出C的一个标准方程:.答案9+9=1（答案不唯一）5. （2020课标H理，19,12分）已知椭圆G:冬+，=I（G/0）的右焦点尸与抛物线Cz的焦点重合,Cl的中心与C2的顶点重合.过产且与X轴垂宜的直线交Cl于4,6两点,交Cl于C,。两点,且C0WA8.（1）求G的离心率；设M是G与C2的公共点.若IMFl=5,求G与C2的标准方程.解析(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=2-b2.不妨设A,C在第一象限，由题设得A,B的纵坐标分别为弓;CD的纵坐标分别为2c,-2c,故A3=r,CQ=4c.由IS二轴引得4c=挛,即3-=2-2()；解得=2(舍去)或=所以Ci的离心率为;.33aaaaa22(2)由(1)知a=2c,b=y3ctiCi:-77+7=l.4CbO)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为Q/DA已知5OA=2O3(0为原点).(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点尸且