5.1导数概念及其运算(题型）.docx

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1、导数的运算1 .能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=,y=而的导数.2 .能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.3 .理解函数的和、差、积、商的求导法则.4 .理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.5 .了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.6 .能够利用复合函数的求导法则，并结合己经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax+b)的导数)课标解读1.通过本节课学习，要求掌握基本初等函数的求导，并能解决与初等函数导数相关的简单问题.2 .通过本节课的学习，要求熟练掌握导数的运算公式，并能准确应用公式计算函数的导数，

2、并能解决与导数运算相关的综合问题.3 .通过本节课的学习，要求会求简单的复合函数的导数，并能解决与之相关的切线、切点、斜率、待定参数相关的问题.导数的运算14 、主干知识2考点1:函数的平均变化率2考点2：瞬时速度2考点3:函数在某点处的导数3考点4：导数的几何意义3考点5:导函数3考点6：几个常用函数的导数3考点7:基本初等函数的导数公式4考点8:和、差的导数4考点9:积、商的导数4考点10:复合函数的榻念及求导法则4二、分类题型5题型一变化率问题5命题点1平均变化率、瞬时变化率5命题点2导数(导函数)概念辨析8命题点3利用定义求函数在某点的导数11题型二基本初等函数的导数15命题点1基本初

3、等函数的导数公式15题型二导数的四则运算法则20题型三简单复合函数的导数34题型四导数的念及其几何意义46命题点1求曲线切线的斜率46命题点2求在曲线上一点处的切线方程47命题点3两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题52命题点4求在某点处的导数值60三、分层训练：课堂知识巩固68一、主干知识考点1:函数的平均变化率函数)，=大处从Xl到X2的平均变化率(1)定义式:A_v_Ax2)-Ayi) X2X 实质：函数值的增量与自变量的增量之比.作用：刻画函数值在区间内，如上变化的快慢.几何意义：已知P3,yu),P2(2,yU2)是函数y=U)的图象上两点，则平均变化率尧二人乃)表aX2-Xi示割

4、线PIP2的斜率.考点2:瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.(2)一般地，设物体的运动规律是s=s(f),则物体在io到M+&这段时间内的平均速度为,=/+，二即).如果加无限趋近于。时，器无限趋近于某个常数打我们就说当4趋近于。时，罟的极限是以这时U就是物体在时刻，=/()时的瞬时速度，即瞬时速度y=罟=如1T)考点3:函数在某点处的导数函数)，=_/)在K=Xo处的瞬时变化率胆2=NEl)*)+弋1火)，我们称它为函数y=U)在X=KO处的导数，记作人必)或川即/o)=2+zw考点4:导数的几何意义切线的定义：设PP是曲线y=U)的割线，当点P趋近于点P时，割线PP“趋近于确定的位

5、置，这个确定位置的直线Pr称为曲线y=/&)在点P处的切线.(2)导数/(必)的几何意义：导数/(表示曲线y=7(x)在点(X0,/(xo)处的切线的斜率k,即A:=Z(Xo)=Jim0/(i+A-)-(M)x切线方程：曲线y=H%)在点(沏，凡M)处的切线方程为)，一/(XO)=/(M)(X-Xo).考点5:导函数对于函数y=(x),当X=XO时，沏)是一个确定的数，则当X变化时，了便是一个关于X的函数，我们称它为函数y=/的导函数(简称导数)，即戊v)=y=屈口HX+黑一危).【重要结论总结】求函数的增量Ay=Uo+-)-xo);求平均变化率:v ./(o+x)T(Xo)x；求极限2 瞬时

6、变化率的变形形式ArO+x)f)xo-)-ro)yUo+x)-(xo)x-2x-fM2.区别与联系区别联系/(M)/(为)是具体的值，是数值在X=Xo处的导数/3)是导函数f(x)在K=Xo处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值/a)是函数yu)在某区间/上每一点都存在导数而定义的一个新函数,是函数考点6:几个常用函数的导数原函数导函数J(X)=C/(X)=O7()=/(X)=I)=2/(x)=2x段)=:/=Tx)=-考点7:基本初等函数的导数公式原函数导函数M=c(c为常数)=oJ(x)=xa(a三Q)f(x)=axal/(X)=Sinx/(X

7、)=COSXJ(X)=COSX/(X)=-sinX/)=f(x)=an4(O)“r)=eA/(x)=eAAX)=IogflX加)二胆且田)a(x)=lnXM=考点8:和、差的导数x)g(切=f(x)g3.考点9:积、商的导数积的导数)g()=r()g()+()g().f()=cff().商的导数噌=r(x)g(止T)g，(x)向)口(切2v;考点10：复合函数的概念及求导法则【重要常用结复合函数的一般地，对于两个函数)，=火)和=g(x),如果通过变量，)，可以表示成X论】(1)概念的函数,那么称这个函数为函数y=/和=g(x)的复合函数，记作y=Ag().求复合函复合函数的复合函数y=Xg(

8、x)的导数和函数y=(),w=g(x)的导数间的关系为yxf=数的导数求导法则MJi,即y对X的导数等于y对的导数与对X的导数的乘积.的步骤求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁.(3)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导.(5)复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是

9、切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.二、分类题型题型一变化率问题命题点1平均变化率、瞬时变化率【例题精析D某物体做直线运动，若它所经过的位移S与时间，的函数关系为Sa)/+,则这个物体在时间段L2内的平均速度为()35A.2B.-C.3D.一22【答案】B【分析】根据平均速度的公式计算.【详解】-5=2(2),3.vr2三1-2故选：B.【例题精析2】在高台跳水运动中，/s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是Mf)=-4.9+65f+K),则运动员在f=Is时的瞬时速度为()A.-3.3m/sB.-8.2m/sC.3.3m/sD.1.6m

10、s【答案】A【分析】根据瞬时速度的定义直接求解即可.【详解】运动员在f=Is时的瞬时速度即为,令财，根据导数的定义，竺=纱上也二胆rZ=4.9-3.3所以(1)=Iim包=Iim(-4.9r-3.3)=-3.3,-ntr-nz故运动员在f=Is时的瞬时速度为一33ms.故选：A.【例题精析3】函数/(x)=Y在x=2处的瞬时变化率为()A.-2B.2C.4D.-4【答案】C【分析】利用瞬时变化率的定义可求得结果.【详解】因为/O+-)-(2)=(2+A)2-4=4+4r+(y)2-4=.+2,xSxx所以，函数/(力=/在=2处的瞬时变化率为广=Iim2+Ay)-(2)=lim(x4)=4故选

11、：C.【例题精析4】若函数/(X)=Cosx,e(t,则函数AX)在三a上平均变化率的取值范围为.【答案】-jr-ICOSaCoSa(【分析】利用定义得到/)=COSX在xR上平均变化率为一t令g=-PeJ,根据几2aa、1.22_COSa/-1/何意义g二口可看做y=cosx,x呜,图象上任一C,cos)9点已OJ连线的斜率，数形结价,以及切线的几何意义求出变化率的取值范围.【详解】当Xe时,/(X)在-,afWfcosn-cos上平均变化率为2=Z=2aaa222CoSa/-I/8a二_巴可看做y=cosx,xe移兀图象上任一点P(,cos)与点匕,0)连线的斜餐即A(),B(,7),当点

12、P从点8运动到点A,斜率g()逐渐减小，点RA重合时，仪幻表示函数y=8sx在点从1自0)处的切线的斜率，y=inx,y,1=-t2所以g()T,当点P位于点8时，点P,A连线的斜率最大，/、-12g3)m献=7二一二故g()e故答案为：(T,-2I冗【例题精析5】函数)，=e2在区间0,1上的平均变化率为.【答案】e2-l【分析】利用平均变化率的概念和公式运算即可得解.【详解】解：由题意可得平均变化率为：/(D-/(O)e2-l2=eI.1-01故答案为：e2-l【例题精析6】物体位移S和时间，满足函数关系S=IOo5(0f20),则当f=2时，物体的瞬时速度为.【答案】80【分析】由瞬时变

13、化速度计算公式可求当，=2时，物体的瞬时速度.详解因为竺=Y(+Az)-5(r+)(1005r3=s5Az.rzAc所以该物体f=2时，物体的瞬时速度为Iim-=Iim(IOo-Iof-54)=80.r0/z0、z故答案为：80【例题精析7已知函数/(x)=3x+2,g(x)=x2,分别计算它们在区间-2,-1,1,5上的平均变化率.【答案】3；3；3；6【分析】由平均变化率的公式计算.【详解】函数/(x)=3x+2在一2,T上的平均变化率为夕72).3、(-l)+2；3x(-2)+2=3函数/(x)=3x+2在1,5上的平均变化率为Rm(I)=(3x5+2)(3l+2)=3函数g（X）=X2在-2,-1上的平均变化率为=1=-3.函数g（力=X2在1,5上的平均变化率为g（5）?=竺二1=6.5-14命题点2导数（导函数）概念辨析【例题精析8】若函数），=/（%）在x=2处的瞬时变化率为Iim孚，且包二/C+竽7（2）=4+则zxxxr=（）A.2B.4C.2+xD.4+x【答案】B【分析】根据导数的定义，直接代入求值.【详解】根据导数的定义可知，广=Iim/（2+x）T（