4.3.2等比数列的前n项和公式5题型分类.docx

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1、项和公式5题型分类一、等比数列的前n项和公式若等比数列,的首项为0,公比为分则等比数列凡的前项和公式为nai,q=S=。】（1q）_aia“q11，q于11q1（7二、等比数列前项和公式与指数函数的关系(1)当夕=1时，Sfl=因是关于的正比例函数，点(,S“)是直线尸火工上的一群孤立的点.(2)当q时，二;)=己，Sn=-Aqn+AqOJL1时，y=qn是指数函数，此时，点(,S“)是指数型函数尸-幽+力图象上的一群孤立的点.三、等比数列前项和的性质已知等比数列”的公比为夕，前n项和为S“，则有如下性质：SZM+=S,+qS,(2)若，,52&5&5-52*(止2)均不为0,则83-5&5/

2、-52*成等比数列，且公比为广.(3)若%共有2M7V*)项,则号=3、奇若对共有(2+1)(N*)项，则SI=q3偶彩供题秘籍()等比数列基本量的求解1 .等比数列的通项公式：an=aqnx=amqnm=(jn.2 .等比数列的前项和公式：STWyqn+詈.l-qI-Q题型I:等比数列前项和基本量的求解11. (2023全国高二专题练习)在等比数列。国中. 52=30, Ss= 155,求 S； 3=10, 46= 4 求 S5；1-q3 .等比数列基本量的运算:在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：Ql,，q,Sn,做到“知三求二(3)+m=66,a2an/=128,Sw=12

3、6,求g.【答案】l80xH-V；*2或：11a(l+)=30,【分析】(1)解方程组；2、L求出4国峰得品Iq(1+4+T)=155,ai+aq2=10,(2)解方程组3S5求出，夕即得解；%q+%q=:，4a.=2,a,l=2,(3)根据已知求出,Q或”有即得解.an=64必=64.【详解】(1)由题意知4(l+q)=30,q(l+g+q2)=55,解叱二;或4=180,5一从而Sx54T或2侬帅+/44ax+a/=10,(2)由题意知,55。同、+q夕=:，44=8,5_.解得1从而Ss=_)=?.q=3,q2(3)因为。2。=128,所以/,是方程/66x+128=0的两根.4=2,I

4、an=2,从而或有an=641=64.又Sn=%：CInq-=I26,所以g为2或;.-q2【点睛】方法点睛：在等比数列J的五个量4闯，牝，S”,中，存在“知三求二”的解题规律,即知道了五个量中的三个量，其它两个量可求.12.(2023上四川成都高二校考阶段练习)已知递增的等比数列q中，ChR=8%,a1+=65,贝1JS5=A.25B.31C.37D.41【答案】B【分析】根据已知条件求得等比数列凡的首项和公比，由此求得【详解】设等比数列4的首项为4,公比为4,则q0gS=8、4八。码3=8,al+aiq=65,由二得一=与，工=上，时一6543+8=（/8乂8/1）=0,4+g651+/6

5、5八，解得q=/或4=2,671=64（即夕=J（不满足q单调递增，舍去）或，1.25所以SS=31.51-2故选：BS13（2023浙江）设S“为等比数列q的前项和，8%+4=O,则寸=A.11B.5C.-8D.-11【答案】D【详解】试题分析：设公比为q，由8%+&=0,得标出去啊,或=网，解得g=-2,所以理=Iz=_0.故选d.,工-格考点：等比数列的前项和.14. （2023上四川高三树德中学校考阶段练习）设正项等比数列,的前项和为S.,若2S,=34+8q,则公比4=（）333A.2B.C.2或D.2或一222【答案】A【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.【详解】由2邑=

6、3a2+8%,有2（4+电+G）=3生+&/1，即26-6。=0.由等比数列的通项公式得244一%“一6%=0,即242一4一6=0,解得4=2或乡=一,，由数列为正项二数列，4:2.故选：A15. （2023上江西高三校联考阶段练习）记正项等比数列为的前项和为S.,若7S2=3S3,则该数列的公比4=（）A.-B.4C.2D.332【答案】C【分析】根据给定条件，结合等比数列的意义列出关于9的方程，求解作答.【详解】正项等比数列4中，夕0,由7S2=3S3得7（q+%）=3（4+02+%）,整理得3%-44-4q=0,即3q2_444=0,解得q=2,所以数列%的公比9=2.故选：C16.

7、（2023上河南安阳高三统考开学考试）已知等比数列%的前项和S“二32一加，则/=（）A.39B.23C.3,D.239【答案】B【分析】由数列6的前项和表达式求出数列的前几项，结合等比数列性质求出数列的首项与公比，由此确定其通项.【详解】因为数列可的前项和f=3+2-m,所以4=S=27-m,a2=S2-S=81-/W-27+/?=54,a3=S3-S2=243-w-81+w=162,又数列6为等比数列，所以数列4的公比4=V=3,a54所以-1=3,所以z=9,6=18,ax27-mm=9=23l,故选：B.17. (2023下,高二课时练习)在等比数列%中，若4+/+%=2-1,则垢+如

8、+始=()A.(2w-l)2B.(4n-l)C.(2-1)D.4n-l【答案】B【分析】因为数列4是等比数列，且J知前项和，所以可求通项。“，进而可求凡一仍然是等比数列,再利用求前项和公式解出结果.【详解】解：因为数列4是等比数列，且4+出+可=2-1,解得4=1,2=2,所以4是以1为首项，2为公比的等比数列，则勺=2小，那么a/=，。所以凡2是以1为首项，4为公比的等比数列，所以根据前项和公式得始+必+可2=岑？2=g3-l).故选：B.18. (2023下高二课时练习)己知%是等比数列，见=2,%=；，则4出+%+4M+尸()A.16(l-4-rt)B.16(l-2w)C.y(l-4w)

9、D.y(l-2w)【答案】C【分析】由已知条件求等比数列q的公比g,数列a向也为等比数列，利用公式求前坝和.【详解】g=2,a5=j,设等比数列q公比为/由得夕3=：，所以夕4o28il=U_Ji=1，bnm254数列是首项为8,公比为;的等比数列,所以 4%+/+ +a+点0,） （N*）均在直线故选：C19. （2023上,河南安阳高二林州一中阶段练习）设数列q的前项和为SzI），=+（上.若人=3“招，则数列出的前项和I=.2nQrt+1-Q【答案】O、151,n=11/八、【分析】依题意得S.=2+：，利用%=:一求出=2,l9N）,得=3?,根据等比数2-5,nZ2列求和公式可得结果

10、.【详解】因为点(，,|”gN)在直线y=+g上，C11所以点=+不，即S,=1+n223当TI=I时，4=Sj=5，当2时，=S0T=(/+；)_(w-l)2+(w-l)=2一;31经检验4=耳满足为=2一(2)所以4=2g(N),1/,手(”+1)则=3/=3*由T=H=S?=可知2为公比为9等比数列，且&=3雨=9,故T=S=“1-98Qn+,_Q故答案为：-8110.（2023上四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：”有一人走3

11、78里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（）A.该人第五天走的路程为14里B.该人第三天走的路程为42里C.该人前三天共走的路程为330里D.该人最后三天共走的路程为42里【答案】D【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为4=g的等比数歹USJ,由题意求出首项，可得其通项公式,即可求出知见,判断A,B;求出S3,S6-S3可判断CD.【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为4=；的等比数列q,设数列前n项和为，则录=378,4。-J故$6=4=378,解得=192,1-2则q,二192x击，故生=192x=12,

12、该人第五天走的路程为12里，A错误；%=192*=48,该人第三天走的路程为48里，B错误；192（1-：）S3=广一=336,该人前三天共走的路程为336里，C错误；1-2由Se-E=378-336=42（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，故选：Dill.（2023湖南统考二模）在流行病学中，基本传染数凡是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.凡一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数3=2,平均感染周期为7天，那么感染人数由I（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（）（

13、初始感染者传染个人为第一轮传染，这几个人每人再传染小个人为第二轮传染参考数据：lg203010）A. 42B. 56C. 63D. 70【答案】C【分析】设第轮感染的人数为勺，则数列%是4=2,公比夕=2的等比数列，利用等比数列求和公式,结合lg20.3010,即可得到答案；【详解】设第轮感染的人数为%,则数列q是4=2,公比q=2的等比数列，由1+S=2(-2)+1=999,可得2X=1000，解得2=500,两边取对数得植2=馆500.“1-233则2=3-lg2,所以=0T=1897=9,故需要的天数约为9x7=63.故选：C彩饵题祕籍(二)等比数列前项和的性质等比数列前项和的性质已知等比数列为的公比为分前n项和为S“，则有如下性质：S,+“=S”+gS.若Sk,S*-Sk,S3-52(僻)均不为0,则，,52a-Sk,S3a-S2*成等比数列，且公比为v.(3)若/共有2(N*)项，则职=4;J奇若,共有(2+l)5N*)项，则SU=q.题型2:等比数列片段和性质及应用21. (2023下宁夏石嘴山高一平罗中学校考期中)等比数列“的前项和为S.,已知，=9,=36,则S知=()A.144B.117C.108D.81【答