数值分析第二版(朱晓临)期末真题汇总.docx

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1、第一章有效数字，相对误差限1、要使诟的近似值I的相对误差的绝对值不超过。.01%,求/至少应具有几位有效数字？解设/至少应具有/位有效数字.因为4际、所以后的第一个非零数字是4,即一的第一位有效数字=4,根据题意及定理1.2.1知，三-11II.1I一X10“=X10z+,0.01%=1()7x2al2x4解得5-lg8a5-0.903=4.097故取/=5,即/至少应具有5位有效数字。第二章范数，Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法(G-S迭代)，收敛，迭代矩阵，迭代步数M=lx-ll=(lJ2)i一、i=l.i=l.W=maxX11lloinH=(kJprZ=InkuQnrl

2、925)/YE8.56cm-/i1.47/25故需要迭代49次。2O-423(2)要到达精度=1。，试估计上述所建立的收敛的Gauss-Seidel迭代格式需要的迭(O)(O)(O)TZZx八AT代步数;取初值居n)=(X“)(注：向量范数都用/范数)解(1)调整上述方程组的次序，得-10x-4x+x=5,2x+IOx2-Tx3=8,3x+2x+IOx=15.,23(*)据此建立Gauss-Seidel迭代公式(把等号右边的k+1换成k就是Jacobi迭代格式)*1ISiitcN=To(-4:+X、-5Y=吉(-2丁+7+8),*o=(-31,-2,15)因为调整后的方程组的系数矩阵是严格对角

3、占优的，所以据此建立的Gauss-Seidel迭4、线性方程组-4xl+x2+2x3=2,V2xl+5x2-X3=0,3xl-2x2+6xi=-1.分别写出求解上述方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵必和叫(2)计算范数伊儿和阿L判断求解上述方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式是否收敛？假设都收敛,哪个迭代格式收敛速度更快？解(1)因为原方程组的系数矩阵代公式所产生的序列H1都收敛。因为方程组(*)的系数矩阵-1023-41021-7IO-IOOOO10OOO10-4OO所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为BgOBg

4、=-(D+L)1U=OO-2/52/2513/1251/1017/25-83/500所以-7O4=11叫,=maxq+卜2/5|十MoIJq+225+1725,0+131.+D+UO1/42-2/5O1/51/21/3O(L+()=Z-D1A=9】对角线上的元素正好是对应的原矩阵对角线上元素的倒数)BG=TD+L)U1/41/2.-1/100-19/120-1/4Kii1=I1OOO9“2的嘲融剧亚布泰,所以用Gauss-Seidel迭代法迭代一次得:xlh=(-0.5,0.9,1.47)T,h-0,=max-0.5-(),0.9-0,1.47-0)=1.47解原方程组的Jacobi迭代格式和

5、Gauss-Seidel迭代格式都收敛。因为网IV怅IL,所以GaUSS-Seidel迭代格式比Jacobi迭代格式收敛速度更快。-10 -4.r, 士 = -1, 2X + 10 - 7; = 2, 5、线性方程组2x210xj=3.(1)写出求解上述方程组的Gauss- Seidel 迭代格式。 写出求解上述方程组的Jacobi迭代 格式的迭代矩阵当。(3)计算范数阿卜,判断上述Jacobi迭 代格式是否收敛？假设收敛,试估计要到达 精度I。4, Jacobi迭代法所需的迭代步数;取初值= 0,0)T.解(1)求解上述方程组的Gauss-Seidel迭代格 式为110110110(2)因为

6、原方程组的系数矩阵-10-41OOO-10OO210-7=2OOO10O32IO32OOO10A+OOO所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的 迭代矩阵为O -2/5 1/10Bj=-D(L + U) = I-DiA= -1/507/10-3/10 -1/50 J因为忸儿=910ln41117=目7(”力。)ln2,97.84,-/0.3/10故需要迭代98次。6、假设迭代函数风。在有限区团向上满足以下两个条件：对任意的Xea,b9有奴x)w,切；x)在上存在，且(x)O,I(x)L1O试证明：(1)对任意初值/Gm，由迭代格式人=风心)(女=1，2,)产生的序列K收敛到方程X=奴X)的根

7、小、卜-凡卜-7jvvx-.lq-(2)估计式1成立。(3)函数9*)在区间1a，加上存在唯一不-4O O-7it/0JlE(1)因为E是方程X=奴X)的根，所以由条件(1)知，飞=娱)/%由微分中值定理及条件得：,-x4=,)-以玉T)=px-x4-1)lx-x4.lI心x-o因为LL,所以当左-8时，对任意初值X。,序列优收敛到X.(2)T=取x)-奴Xi)I=()(x*-xt-l)Lx-ViI=L(xt-xA._,)+(4-xt)x-xt.1+Lx*-xk,解得一k = 1,2,先证：不动点/存在性.记f(x)=x-(x)f由条件有f(a)=a-(a)O及f(b)=b-(b)O假设有上述

8、2个不等式有一个等号成立，那么/S)=0或/3)=0,即*3有不动点;否那么必有3)fS)0.因为/(X)=X-G(X)在S向上连续，所以由零点定理知，必有力，使f()=-(x)=0即x=9),这说明丁是9(x)的不动点.后证：/的唯一性.设UE引“向都是例X)的不动点，M=。(XI)，工2二夕()，且X那么由Lagrange中值定理，得重实根，那么求父的改良的NeWton迭代公式为=X2)二X2l-7xL+15yl-9C八七|)13花|14玉7+5o(记得一9)2、方程2+3x-7=0.(1)取初值%=S,用NeWton迭代法求包(2)取初值=&x=09,用弦截法求.解(1)f(x)=2x3

9、+3x-7f/)=6+3,据此建立Newton迭代公式/(七一|)=2匕7+3%-77)Z6心+3忖-闾=|。(匕)-奴E)ITdc)a；-芯)|TdC)Il械痂鼠中P阊那IW-,矛盾！这说明M=E,即不动点是唯一的.第三章改良的Newton迭代法，二分法，迭代法求方程，Newton迭代法，二重根，弦截法1、设/是方程*)=的3重实根，那么求X的改良的Newton迭代公式为XX3/(/T)&-12O(2)设X*=3是方程F-7f+15x=9的2X=XO一2x+3x0-720.81+30.8-7998lC.o-C-16%+360.82+32x13+3x1-71L2x1.3228-+3x1.322

10、81-=1.322o1；6x；+361.322812+3(2)弦截法迭代公式为-1)-2)/(V.)(2/.1+3占_-7)-(2Xiy+3/_2取初值=0区X=9,代入上式计算得:x2=1.28719,X3=1.177253、(1)设八叫d是方程Fa)=代格式；并证明求X的改良的NeWton迭代法至少是平方收敛的。（2）用弦截法求方程E+DT=在。4附近的实根V的近似值与.（取初值x0=0.4,X1=0.45)(1)证()即f(x)=(x-x*)mg(x),limg(x*)0)由式(3.4.4),得/、f(x)G)=77,_(上)g(x)mg(x)+(x)g(%)容易验证X#是方程MX)=O

11、的草根,对它应再NeWtol4山）随从而可构造迭代蛰式f(x)z(x)z(x)Z2-(x:fgf(Xk)k=根时是至少平方收敛的,所以=XLHa-/(WGEJ因为Newton迭代法X也是至少平方收敛的解弦截法格式为I3”)1)-J取初值XL。，=。*,代入上式计算得:X2=0.466615,怎=0.4655555、（1）用改良的Newton迭代法求方程f-3f+3f7=0的重根，取初值v=2,求0（要求先验证重根的重数J用弦截法求上述方程的单根,取初值E=O.5,XI=O.4,求与4解记)=x4-3+3-因为/(1)=-3+31j-1=0,/(l)=4f-9f+6x1-1=0,/(1)=12x1：-18x1+6=0,*(1)=24x1-18=6/0,所以E=I是方程J-3/+3/-x=的3重根。求X的改良的Newton迭代格式为r_rQ/(Y-)_a玉-1-3JT+3%_f_“lf,(xk-i)I4A-t-9xL1+6-.1-l,34