1.3空间向量及其坐标表示典型例题（解析版）.docx

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1、1.3空间向量及其坐标表示典型例题考点01：空间向量的坐标表示1a=(1,-1,2)，b=(2,11)6=(5,-3,幻，若a,b，C共面，则实数出为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】利用空间向量共面的充要条件：存在唯一的实数对(,y),使。=+地，列出方程组，即可求出A的值.【详解】，向量4=(1,-1,2)，b=(-2,1,-1),c=(5,3,女)，若向量4，b，d共面，则存在唯一的实数对(x,),使C=Xa+%,x = l 产-2,A = 4即(5,3,A)=x(l,1,2)+y(-2t1,-1)(x2y,-x+y,2xy)x-2y=5-+y=-3,解得.2x-y=k二实数

2、人的值为4点o在平面yz故选：D2 .如图所示，在空间直角坐标系中BC=2,原点。是8C的中点，点A的坐标是上，且/BOC=90,NOCB=30，则向量。的坐标为()一界,。C.【答案】B【分析】过点。作DEJ轴交EC于点E,根据已知条件算出三角形肛的边，利用直角三角形的性质及题中所给条件计算出DE的长度即可解决问题.【详解】过点。作OEiBC交BC于点E,如图所示：因为BC=2,NBoC=90,/CB=30,所以在RjBDC中有：得15Q=1、CQ=5,在RtAOEC中，有同=ICqsin30二今，所以IOEI=I。8|IBEl=Io8-8Dcos60=l-g=g,所以点。的坐标为(0,4招

3、,又。为原点,所以Oo=(O,彳),故选：B.考点02：空间向量求点的坐标3 .已知A(1,O,T)8(432),则线段A8上靠近A的三等分点的坐标为()A.(0,-1,-2)B.(2,1,0)C.(3,2,1)D.(5,4,3)【答案】B【分析】设线段AB上靠近A的三等分点为Ca,z),根据题意可得出AC=gaA,结合空间向Q的电标运算可求得点C的坐标.【详解】设线段A8上靠近A的三等分点为Ca,y,z),根据题意可得出AC=即(xl,y,z+l)=33,3,3),所以，y=,解得“=1,即点c(2,o).故选：B.4.已知三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,ABlAC,若E4=3,AB

4、=EAC=2f先建立空间直角坐求各顶点的坐标；若点。在线段PC上靠近点P的三等分点，求点。的坐标.【答案】(1)答案见解析D(OQ)【分析】(1)根据题设条件可以建立以点A为原点，以射线48、AC.AP为X轴、y轴、Z轴的正半轴的空间直角坐标系，从而求解各顶点坐标；(2)点。的坐标为(x,y,z),由8=20户求解.因为PAJ_平面ABc所以P4_LAC,PAA,又因为ABlAC,所以建立以点A为原点，以射线人仄AC.AP为X轴、y轴、Z轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示：因为 EA = 3 , AB = 1 AC = 2，所以A(0,0,0)、80,0,0)、C(0,2,0)、P(0,0,

5、3);若。点在线段PC上靠近P点的三等分点,所以CD=2DP，0+20八X=01 +2设点D的坐标为(, y,z),则42 +202J=?Z=V=2,1 +2考点03：空间向量坐标的运算1 D.-35.己知=(T-3,2),=(1,2,0),贝J0方=()A.-5B.-7C.3【答案】B【分析】利用向量空间向量坐标运算法则求解.【详解】Y=(-1,-3,2),=(1,2,0),db=16+0=-7故选：B6.己知向量=(2,3,-4),力=(-4,-3,-2),力=TC-2%则C=(A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)【答案】B【分析】推导出c=4

6、a+,利用向量坐标运算法则直接求解.【详解】.向量=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=gc-2,.c=4+3=(8,12,16)+(8,-6,T)=(0,6,-20).故选:B.7 .已知向量”(3,2,4),=(1-2,2),则日斗()A.210B.40C.6D.36【答案】C【分析】利用向量线性关系的坐标运算求人再利用向量模长的坐标公式求模长.【详解】由题意，.=(T2,4),=(1,-2,2),a-b=(-4,4,2),.-/?|=(-)2+42+22=6.故选：C.8 .设q,e；,0为空间的三个不同向量，如果4q+4e2+4%=0成立的等价条件为4=4=4=0,则称线性

7、无关，否则称它们线性相关.若=(2,1,-3),A=(Lo,2),c=(l,T线性相关，则m=()A.3B.5C.7D.9【答案】D【分析】确定41+46+43=(24+4+4,4-4,-34+24+/:4)=(0,0,0),解得答案.【详解】a=(2,3)/=(1,0,2),C=(L-1,M线性相关，+=(24+4+4,44,34+2,+)=(。,)，24+2+A3=O?则4-4=?，4,4,4不同时为0,解得帆=9.34+2,+m3=0故选：D考点04：空间向量模长的坐标表示9.己知/BC的三个顶点分别为A(3,1,2),8(1,-1,-2),C(TT2),则BC边上的高等于()23r83

8、r46n863333【答案】B【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.【详解】由题意4(3,1,2),BaTL2),C(-l,-3,2),可得班=(2,2,4),BC=(-2,-2,4),UlTuunBABC-4-4+161九万Cf即前二浜运F即角8为锐角，所以SinB=言所以BC边上的高d=IBAsinB=46X=.故选：B10.如图，在直四棱柱ABC。一AAGA中，ABHCD,ABlAD,A.=AB=2AD=2CD=41E,F,G分别为棱。A,AQ,网的中点.求线段尸G的长度;求CGM【答案】(1)0T6【分析】(1)以点A为坐标原点建M空间直角坐标系，求出归q即可;(2)根据空间

9、向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】(I)如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则尸(l,4,0),G(0,2,4),故FG=(T,-2,4),所以卜GI=Jl+4+16=T,即线段FG的长度为0T：(2)C(2,0,2),E(2,2,0),则CG=(-2,2,2),M=(T2,0),所以CGEF=2+4+0=6考点05:空间向量平行的坐标表示11 .己知向量=(2,4,5),7(3,x,y)分别是直线4,1的方向向量,若4%则()A.x=6,J=1B.x=6ty=C.x=3,y=15D.x=3,y=-y【答案】B【分析】由“2,则两直线的方向向量共线列式计算即可.【详解】由题意可得：I

10、=J=,解得：x=6,J=y.故选：B.12 .d=(1,2,-1)=(-2,x,2),若Qb，则X=.【答案】-4【分析】由空间向量共线定理求解.【详解】解：因为=(l,2,T),力=(-2,x,2),且出小，12-1所以V=W=一，解得X=T，-2x2故答案为：-4考点06：空间向量垂直的坐标表示13.己知向量a二(1,2,0),Z?=(2,y,-l),若aJ_b,则)=()A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【分析】由向量垂直坐标表示直接构造方程求解即可.【详解】aLb.Z?=2+2y+0=0,解得：J=-L故选：B.14.己知向量=(l,0,l),=(1,2,0).求与a-b的夹角余

11、弦值；(2)若(2+qMaT匕)，求f的值.【答案】噜(2)=【分析】(1)利用向量坐标夹角公式计算可得答案；(2)利用向量垂直的坐标运算可得答案.【详解】(1)因为=(l,0,l),=(1,2,0),所以-6=(0,-2,1),p=2,-=5,所以3*词=*=心=巧；/即一42510(2)2+b=2(1,0,1)+(1,2,0)=(3,2,2),47-Z=(l,0J)-r(l,2,0)=(l-r,-2rJ)因为Q+Z?)_1_(一加)，所以(加+/?)(一加)=3(1，)-41+2=0,解得旺.考点07：空间向量夹角余弦的坐标表示15.(多选)若向量。=(-1,-2)与6=(1/,2)的夹角

12、为锐角，则实数JV的值可能为().A.4B.5C.6D.7【答案】CD【分析】依题意可得小方0且与不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，求解即可.【详解】因为=(Tl,-2)与6=(1/,2)的夹角为锐角，所以=(-l)l+lx+(-2)2=x-50,解得x5,1Y2当&与b共线时，2-=v=4,解得户-1，所以实数X的取值范围是x5,112经检验，选项C、D符合题意.故选：CD16.已知空间三点42,0,2),B(TI,2),C(-3,0,4),设d=A8，b=AC.设c=3,CBC，求不；(2)求a与B的夹角;若3+与嬉-4互相垂直，求匕【答案】3=(一2,1,2)或d=(2,1,-2)

13、(2)-arccos-10(3)k=2或4=-【分析】(1)由空间向量平行，得出c=4C，设右=(-2幺一七2江再利用卜卜3列方程，进而求得C；(2)先求得d=(l,l,0),b=(T,0,2),再利用公式即可求得cos的值，根据反三角函数即可求得向量夹角：(3)利用空间向量垂门充要条件列出关于A的方程，解之即可求得火的值.【详解】(1)由题可知,BC=(-2,-1,2),由85C，得I=&BC，设(-2幺-七2外，因为c=3,所以(-22)2+(-4+(22)2=32,解得A=l,所以W=(2,1,2)或d=(2,1,-2).(2)因为A(2,0,2)、3(1,1,2)、C(3,0,4),。=AB，b=AC所以=(l,0),b=(1,0,2),Q,b1Jl0则cs=丽所以与的夹角为-arccos0.10(3)因为3+h=(ATA,2),履一2b=(A+2,A,-4),又履+b与履-2在垂直，所以(3+b)(履-力)=(1)化+2)+&28=0,解得女=或攵=2.