奥数第4讲-巧求周长与面积.docx

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1、【分析】由于图中阴影局部BCGr是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽。FH+AC的和应为长方形Ac归E的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形4花的长与宽之和。所以长方形ADHE的周长为：（18+24）x2=84厘米。【例2】如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和心形区域乙和丙。甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米?【分析】乙的周长实际上是正方形WZf的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），同样的，丙

2、的周长也就是正方形ABCQ的周长。由于A=4xL5=6,AD=6L5=9,所以丙的周长为9x4=36厘米，EF=AE-AF=6-4=2（厘米）。【例3】用假设干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，大平行四边形的周长是244厘米，,那么平行四边形和三角形各有多少个？/【分析】大平行四边形上、下两边的长为LLv-7（244-2x2）2=120厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206x2=40个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。拓展用假设干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形如右图拼接成一个大的平行四边形，大平行

3、四边形的周长是236厘米，那/KS-T-/么平行四边形和三角形各有多少个？/V/分析大平行四边形上、下两边的长为（236-2x2）2=116厘米，观翥上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166=19L2,所以有三角形19x2=38个，小平行四边形38+1=39个。【例4】有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形（如图）的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。【分析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的54=1.25倍。每个小长方形的面积为459=5平方厘米，所以1.25宽X宽=5,所以宽为2厘米，长为2.5厘米。大长方形的周长为（2.5

4、42+2.5）2=29厘米。拓展右图的长方形被分割成5个正方形，原长方形的面积为120平方厘米，求原长方形的长与宽。分析大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.5x1.5=2.25倍，所以小正方形面积为120（Z25x2+3）=16平方厘米，所以小正方形的边长为4厘米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4x3=12厘米，宽为4+6=10厘米。【例5】（希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米。原正方形的边长是分米。【分析

5、】把截去的两个长方形拼在一起，如右下列图所示，再补上长11分米、宽7分米的小长方形，所得长方形的面积是301+11x7=378平方分米，这个长方形的长等于原正方形的边长，宽为11+7=18分米，所以原正方形边长为：37818=21分米。一巧求面积性成八个小矩形，其中有五个矩形的面积苞4w21，中平方厘米），问大矩形的面积是多少平方厘米？【分析】通过分析题目中的条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相等，即Bc相等，不妨假设8C=2厘米，可以算得：AC=8厘米，CD=IO厘米。于是可以算得：GC=368=45厘米，8E=3010=3厘米，EF=128=1.5厘米。于

6、是大长方形的长为10+8=18厘米，宽为4.5+2+3+1.5=11厘米，因此大长方形的面积为1811=I98平方厘米。【例7】一块正方形的苗圃（如右图实线所示），假设将它的边长各增加30米（如图虚线所示），那么面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？【分析】小正方形的面积为：30x30=900平方米。用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形的面积和，为，9900-900=9000平方米。而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积为90002=4500平方米。长方形的宽为30米,那么长为，450030=150米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原

7、来这块正方形苗圃的面积为150x150=225001平方米）。【例8】长方形ABCo的周长是3（）厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？【分析】从图形我们可以看出，A8的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形A88周长的一半，可以看出假设以AB和BG为边能构成大正方形ABGg（如右图所示），其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半。这样我们容易求出：大正方形ABCg的边长为30+2=15厘米，面积为：15x15=225平方厘米，正方形8AG

8、与正方形ADEA1的面积之和为22902=145（平方厘米）。长方形Aea与长方形EDAE的面积相等。所以，长方形ABCD的面积为：（225-145）2=40（平方厘米）。稳固用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？分析做辅助线，如右下列图，小正方形I的面积为44-28=16,所以。=4,b=284=7,原正方形面积为7x7=49平方厘米。【例9】如图，正方形ABC。的边长是5,E,F分别是AB和8C的中点，求四边形BFGE的面积。【分析】如下列图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每

9、个小正方形面积是555=5,而阴影局部面积等于1个小正方形面积，所以也是5。纺人应用N三等分以各边的中间一段为边向外作小正三角形得到一个六KwUgI八形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形。如果所作的最小的小正三角形的面积为I平方厘米，求如图中整个图形的面积。【分析】题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形（如图。），的面积是I平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正三角形为单位，对图。进行分割，得到图人。从图可以看出，一个大正三角形中包含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形。由此可以求出，一个大正三角形中包

10、含9x9=81个小正三角形，在图中，除了一个大三角形之外，还有3个中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为，9x9+3x9+12=120个，而每个小正三角形的面积为1平方厘米，所以图中图形的面积为120平方厘米。【例11】（“迎春杯初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EPG”，中间阴影为正方形。甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形/W8的面积是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的t分析】【例12】t分析】稳固分析总和。甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、丙、丁四个长方形的周长的总和等于大

11、正方形的周长的2倍。大正方形的面积等于四边形ABC。的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即20+322=36平方厘米，所以大正方形边长为6厘米，所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为6x4x2=48厘米。（2006年“希望杯第二试）如右图，用标号为1,2,3,4,5的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18,14,那么标号为5的正方形的面积是多少？如果标号为5的正方形的边长是叫那么1号比2号大2号比3号大叫所以1号比3号大功，又因为2号和3号的边长之和是14,I号和2号的边长之和是18,所以I号比3号大18-14=4,即2c=4,=2,标号为5的正方形的面积是2x2

12、=4。希望杯培训题小军用编号为1,2,3,4,5的大小不同的正方形拼出一个长方形,如右图所示，那么中间阴影局部正方形的周长是多少厘米？因为正方形1的边长+正方形2的边长+正方形3的边长=30厘米，正方形1的边长+正方形2的边长=22厘米，所以正方形3的边长=30-22=8（厘米），正方形5的边长+2正方形3的边长=22厘米，所以正方形5的边长=22-8x2=6厘米，周长为6x4=24厘米。拓展一个大长方形假设能分割成假设千个大小不同的小正方形，那么称为完美长方形。下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。图中正方形A和3的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？

13、分析为了表达方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示（如图）。设最小的正方形边长为X厘米，又因为小正方形A的边长为7厘米，小正方形8的边长为4厘米，所以小正方形C的边长可以表示为7+x厘米，小正方形O的边长可以表示为7+x+x=7+2x厘米，小正方形E的边长可以表示为7-x+4=lI-X厘米，小正方形尸的边长可以表示为ll-+4=15-X厘米，小正方形G的边长可以表示为15-+4=19-x厘米，小正方彩”的边长可以表示为7+x+7=14+x厘米，观察大长方形可知：小正方形。、C、”的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，可以列方程为：（7+2x）+（7+x）+（14+x）=（15-x）+（1

14、9-x）,解得x=l.从而可得小正方形。、。、E、F.G、的边长分别为8厘米、9厘米、10厘米、14厘米、18厘米、15厘米。大长方形的长为：18+15=33厘米，宽为：14+18=32厘米，大长方形的面积为：33x32=1056平方厘米。【例13】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？【分析】根据条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图（如图。），将大正方形在小正方形外的局部分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图）。附加题目由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差404=10米，即图中的长方形

15、的宽是IO米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长为，22010=22（米）。由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：（22-10）2=6（米所以小正方形的面积为：6x6=36（平方米）。图b、板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条rv mupzizm:条的面积等于多少？面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃【分析】我们先按题目中的条件画出示意图（如图。），我们先看图中剩下的长方形,它的面积为5平方米,它的长和宽相差（）.5米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图（如图Z?）O图是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即0.5米。所以中间的小正方形的面积为0.50.5=0.25平方米，那么大正方形的面积为5x4+0.25=20.25平方米。因为4.5x4.5=20.25,所以大正方形的边长等于4.5米。所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为：（4.5+0.5）2=2.5米，即原正方形的边长为2.5米。又知锯