《点集拓扑学》～畅想系列.docx

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1、点集拓扑学畅想系列第一章：关系与映射第一节集合及其运算集合论的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在数学理论中得到了广泛的运用。集合的定义：公认定义：具有共同归属的对象的全体称为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。（集合的归属性指的是元素满足该集合的要求），我把该定义中的属性改成了归属，一个定义必须文字表达要准确，属性和归属性是两个完全不

2、同的概念，这里用归属性比较恰当。例如：三个没有共同属性的正交向量组成的集合bn,很显然只能用归属性定义集合，否者就会有矛盾，产生悖论。个人（本人）定义：我们在各种或者所有对象中按照某种要求进行抽样，把抽出的对象集中起来作为一个群体来研究，因此把所有符合或者满足要求的具有相同归属性的个体称为集合。所以群体之间是有归属性差异的，不会有两个完全一样的群体或集合。群体或者集合中的对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合，也可能是没有包涵关系的子集。当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幕集族。全集的一部分称为子集，幕集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母

3、代表，其中元素用小写代表。集合的表示方式：1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下：a9b,c91,2,3,1,2,3,*,三,大象,人2文字语言描述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。3图示法4数学关系描述法或者数学语言描述法用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下：xXlM6或者巾X,啕对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论，比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句

4、话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。又比如：R=kk任M如果R是一个集合，那句?是不是这个集合的元素呢？也就是说=R?很显然R是这个集合中的元素与不是这个集合中的元邦B是矛盾，所以这样糠述欠妥，所以我们采脚面的分离模式表示盘就合理了R=kwXx任R,RuX同时说明一个集合不可能是该集合的元素集合的关系符号：(=3CUCD()如果在集合A中的某个元素a属于它那么记为A否则WA；如果集合B中的元素包含在集合A中我们记为BNA或者A=8,这时当A中元素有多的异于8中的元素时记为BuA或者An5;当A与3中元素相同时我们称它们相等记为A=B集合的运算：运算符号：交c,并u,差补A,A

5、uB=xA或者XM,AnB=xA月X1幕等律：ACA=AADA=A2交换律：AnB=BnAAuB=BuA3 分配律：AC(BUC)=(AC5)U(ACC),Ad(8cC)=(AdB)c(AdC)4 结合律：An(BnC)=(AnB)nC,Au(BuC)=(AuB)UC5 DMorgan律：A(3CC)=(A5)=(AC),A(6DC)=(A8)C(AC)6 AX(BCC)=(AX3)C(AXC)Ax(3UC)=(AXB)=(AxC)7 X-(X-A)=AnX,若AqX,则X-(X-A)=A8 ACB=AOAqBoAdB=B集合中的每个元素可能是一个集合，这样的集合有两种，第一种虽然集合中的元素

6、是集合但是该集合只做为一个对象或者个体，与集合中其它对象(这里的对象是集合)没有包含关系和没有共同的全集，我们把这样的集合一般不称为集族，比如集合，(一群人，一群大象，一群羊,一群人，一群大象，一群羊都是集合，而此它们都是作为集合中的一个元素而不是一个面，且集合之间没有包含关系，作为元素的各集合没有同的全集和一般集合中的元素循本质区别第二种是集合中的元素都是集合，但是这些集合有一个全集，它们和全集有包含关系，我们把由全集的部分子集作为研究对象构成的集合称为子集族。这种子集族中的元素和一般集合中的元素是有区别的，我们把全集X的所有子集放在一起称为幕集，用P(X)表示。点集拓扑学主要研究的是第二种

7、情况，下面给出指标集族的定义：子集族：给定一个集合X,XjqX,把X的所有子集拿来构成一个集合称为X的幕集P(X),把募集中有一部分子集或者全部拿出来构成一个集合，我们称为子集族。数列4=%Lz,数列可以看做定义域在正整数集或者子集上的函数或者映射，其中元素可以有相同的，但是数列中的元素必须是有序的，也就是说遵循正整数由小到大的排列顺序规律。而集合中的元素是无序的，互不相同的，这就是区别，但是有的集合中每一个元素也是可按自然数由小到大编序的，编序的集合称为集列，集列包括集族列，把其中元素进行编序而构成的集合为有标集合。下面给出有标集族的概念：给定一个集合人对于任意不同的J,存在不同的集合A,我

8、们把所有不同的Aj全体称为有标集族A=(Aj)止八称/为指标集，为有标集族中某个集合元素的指标，当任意4都是某个集合X的子集时，这时候的有标集族为有标子集族。同理我们把任意集合中的元素按自然数由小到大进行编号或者建立集合X到自然数集N之间的映射/,这时自然数集为指标集，这种有序有标集称为集列，这时指标集为自然数N,集列中的元素按自然数由小到大排列。当然有标集N也可以换作实数集，集族中的元素也可以按实数由小到大排列，这时集合中的元素形成一个序列。A=4：类似地，定义其并Uyr4(或UA)、交nA2(或nA),不定义。个集的交.与仃限集族仃相同的运算律，如DCMOrgan律A-LUAy=U(%-A

9、jA-efr=U片/八映射对应的集族性质：QerAz)=UzerA,)J(-&)=11rerf()r,(Lu4)=LU尸(玛)，尸(PUBy)=U尸(玛)幕集：任给集合X,X的所有子集作为元素构成个集合P(X)=AACX1称为X的塞集(powerset).X的密集的个元素是X的个子集.笛卡儿乘积任给两个集合XZ它们的笛卡儿乘枳(或卡氏积，Cartesianproduct)XXy指第个分量在X中，第二分量在Y中的有序对(,)构成的集(肛y)IxeX,yeY.两个有序对(叫M与(u,)相等当且仅当它们的两个分量分别相等，即a=4u=0.1 .若I=a1b,X=x,y,则4xX=(,x),(,t),

10、(,x),(,t).2 .实数集E与它自身的笛卡儿乘积RxR就是实平面.3 .任给集合X,Xx0=0xX=0.第二节集合中的关系对于集合X与y的笛卡尔集,存在它的一个子集RqXXy,子集R中的元素(x,y)R,我们说y是对于R二元相关记作为Ry,当X=Y时R称为X上的二元关系。若R是X到y的关系则：Rop=(y)yXX(x,y)M是y到X的关系，称为R的对偶关系。有(RJPyJ=R。集合X上的一个关系R如果是等价的那么必须满足三个条件：1自反的：A(X)=R,VxX,3(x,x)&即2对称的：KP=R,若XRy,且)火X3传递的：R。R=R,若xRy,yRz,则xRz(另外X上关系R称为反对称

11、的：Rw=(X)=idx,即(羽“)，,X)WR=X=y)。对于任意集合X如果他的子集R互不相交，所有子集的并为X,那么称R为X的一个划分中的等价类。如果笛卡尔积XXy的任意子集R互不相交，且所有子集R的并为笛卡尔XXy全集，那么R是Xxy的一个划分中的等价类，且集合R中任意的元(,y)互相等价，且和本身(,y)等价。恒同关系A(x)=Cr,jx,模P(素数)等价关系：modp=(x,y)eZZ3nZ9sJ.x-y=np,同枢关系等都是等价关系。（戈,）张/氏工外小于关系不是等价的它是传递的，不是对称的和自反的。R是X上的一个等价关系，存在X,集合卜=yX（x,）/?称为X关于R的等价类。我们

12、把（rxx叫作集合X关于R的商集，记作X/R。定律：如果R是非空集合X上的等价关系，则1 xX,WJxx,.x02 %,y关于R等价记Xyf则国=y3 ,yX,要么田=M要么国WIyI4 X=UXeXIxlOX上的一个等价类M是X上的某类划分中的其中一个部分，X的不同划分中X中的元素有不同的等价类，且各划分的各部分之间没有交集，所有部分的并为全集X,即X=UXeXx如下图是对集合X的两种划分：其中A是其中一种划分中的一个划分部分或者等价类或称等价类集，A中任何元素都是以A部分为等价的，A中的元素相对于A划分部分都称为同枉元，特别的A如果是点集那么里面的元素互称为点同胚，也有可能A本身就是由同胚

13、图形作为集合A的元素构成的集合。划分与同桩：集合的一个划分就是把一个集合进行等价关系分类，每个类别就是其中一个划分部分，这个划分部分由等价关系决定，这个类别称为等价类，等价类中的所有元我们称为同枉元，但等价关系不一定都是同胚关系。集合X的一个等价关系决定了某个划分中的一部分，反过来集合的一个划部分对应着一个等价关系。同枉指的是拓扑空间的图形满足拓扑不变性的映射关系的一类图形的搜集，一种同枉构成一个同胚集合，所有的同枉构成同枉点集或者同框图形集，同枉点集是把其中元素作为一个点处理，同胚点集中的等价关系不一定是同胚关系，比如索数集中每一个素数互为素数关系等价，也称为素数同胚点或元。图形同枉集里面的

14、每一个元为同胚图形，这个图形可以理解为一个集合。所有不同类型的同坯族的并是全集X称为同胚族全集。它相当于把同胚族全集X划分为不同类型的同胚集。使拓扑空间中的图形满足拓扑不变性的关系对应的映射称同枉映射，满足同枉映射的关系有多种，比如恒同映射，它是等价关系，不同的图形可能有不同的同枉，一个同枉集代表同胚族全集的一个划分部分，同胚相对于同胚关系互相等价。我们把在拓扑空间中满足图形的拓扑不变性的所有映射或者函数统称为同枢关系函数，满足同枉关系的映射为同枉映射，同枉映射的因变与自变是拓扑图形，图形在同坯映射下互为同桩，所以同林映射与同枉关系不是同一概念，同杨关系包涵所有同枉映射。(拓扑学的语言表达准确

15、性很重要)。等价关系不一定是同胚关系，等价类中的元我们也互称为同胚，等价类中的元为点时称为点同胚；同胚关系一定是等价关系。第三节映射映射是集合之间关系的一种术语，是在纯数学中讨论的一个基本数学概念，比如代数学，解析函数，微积分中都离不开映射，映射的应用是很普片的。映射由三部分组成：定义域，值域，对应法则，在定义域X中任意一个取值A按照某种对应法则/在值域y中都有唯一确定的值)，与之对应。然而在点集拓扑学里我们这样来定义映射:给定两个集合AB以及它们的一个关系RsAB,存在集合X=Ay=B,如果集合A中某个元素.rXf集合B中存在唯一的元素.vY,使得x,y对于R相关，BPxRy,我们称关与R建立了A的子集X到B的子集Y的对映法则了,这时候我们称在关系R下建立了定义域X到值域Y的映射、广XfY,映射的原像称为定义域X,映射的像称为值域Y,记映射f.XY或广Ax品,XqA丫G8。在点集拓扑学中有时为了分析问题的方便把映射统一写成f.XY9这时候的映射/表示从集合X的某个子集到K的