第七章 常微分方程数值解法.ppt

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1、12本章主要内容：本章主要内容：3引言：引言：可求出方程可求出方程y=1+ex的通解为的通解为 y=x+ex+c,将初值条件将初值条件 x=0,y=2 代入得代入得 2=1+c,故故 c=1,所以初值问题的解为所以初值问题的解为 y=x+ex+1 dxeyx)1(求解初值问题求解初值问题 1(0)2xyey=+=4引言：引言：00)(,),(yxybaxyxfy本章解决的问题：本章解决的问题：一阶常微分方程的初值问题一阶常微分方程的初值问题5引言：引言：l若方程若方程 y=f(x,y)的右端函数的右端函数f(x,y)在闭矩形域在闭矩形域R：x0ax x0a，y0by y0b上满足：上满足：（1

2、）f(x,y)在在R上连续上连续,（2）在）在R上关于上关于y满足满足Lipschitz(李普希兹李普希兹)条件条件即存在常数即存在常数L，对，对R上任意点均有以下不等式成立：上任意点均有以下不等式成立：|f(x,y1)f(x,y2)|L|y1y2|,xa,b,y1,y2R 则上述初值问题存在唯一的连续可微的则上述初值问题存在唯一的连续可微的解函数解函数 y=y(x)。6引言：引言：又如初值问题又如初值问题 12(0)0yxyy=-=可求出它的解为可求出它的解为 220 xxtyee dt-=但要进一步计算指定点的函数值，还需要用数值但要进一步计算指定点的函数值，还需要用数值积分方法。有些微分

3、方程的解是隐函数，例如积分方法。有些微分方程的解是隐函数，例如要求函数值还需要解超越方程。应用中所处理的要求函数值还需要解超越方程。应用中所处理的微分方程往往很复杂且大都得不出一般解，所以微分方程往往很复杂且大都得不出一般解，所以一般用数值解法。一般用数值解法。1x yyex+=7引言：引言：数值解法：数值解法：给定节点给定节点a=x0 x1xn=b,将初值问题离散将初值问题离散化为差分方程化为差分方程,求出解函数求出解函数 y(x)在这些点的近似在这些点的近似值值y1,y2,yn。所求得的近似值称为所求得的近似值称为数值解数值解。本章中总假定步长本章中总假定步长h为定值，节点为定值，节点xi

4、=x0+ihi=1，2，38l 7.1.1 欧拉法及其截断误差欧拉法及其截断误差l 7.1.2 改进的欧拉法及预测改进的欧拉法及预测-校正公式校正公式 7.1 欧拉法和改进的欧拉法欧拉法和改进的欧拉法97.1.1 欧拉法及其截断误差欧拉法及其截断误差 00)(),(yxyyxfy初值问题：初值问题：1、欧拉公式的构造思想：用差商代替导数、欧拉公式的构造思想：用差商代替导数 012,nx x xx鬃设设 等距，步长为等距，步长为1,0,1,1iixxhin+-=鬃()()()()()()()(),y xhy xy xy xhy xh yxy xh f x yh+-+=+令令x=xi,x+h=xi

5、+1,y(xi)yi ，y(xi+1)yi+1,初值问初值问题离散化为题离散化为 )(,2,1,0,),(001xyyiyxfhyyiiii(欧拉公式欧拉公式)107.1.1 欧拉法及其截断误差欧拉法及其截断误差例例 取步长取步长 h=0.1，用欧拉法求解初值问题用欧拉法求解初值问题 解解:00(,),0,1f x yxyxy=+=(0)1yxyy=+=y1=y0+h f(x0,y0)=1+0.1(0+1)=1.1y2=y1+h f(x1,y1)=1.1+0.1(0.1+1.1)=1.22y3=y2+hf(x2,y2)=1.22+0.1(0.2+1.22)=1.362y10=y9+h f(x9

6、,y9)=y9+0.1(x9+y9)=3.18748 )(,2,1,0,),(001xyyiyxfhyyiiii117.1.1 欧拉法及其截断误差欧拉法及其截断误差 )(,2,1,0,),(001xyyiyxfhyyiiii2、欧拉公式几何意义、欧拉公式几何意义:用折线代替曲线计算解函数的近似值。用折线代替曲线计算解函数的近似值。1100(,)(),0,1,2,()iiiiiiyyf x yxxiyy x127.1.1 欧拉法及其截断误差欧拉法及其截断误差3、数值公式的误差来源。、数值公式的误差来源。(1)局部截断误差局部截断误差（简称（简称截断误差截断误差）：假设）：假设 yi=y(xi)是

7、准确的是准确的，计算，计算yi+1所产生的误差所产生的误差 y(xi+1)-yi+1 若局部截断误差可以表示为若局部截断误差可以表示为O(hk+1),k为正整数，为正整数，则称公式是则称公式是k阶公式阶公式。（2）由于实际上）由于实际上yi不是准确值，因此它的误差会不是准确值，因此它的误差会传播下去。传播下去。（3）实际计算时，每一步都可能产生舍入误差。）实际计算时，每一步都可能产生舍入误差。137.1.1 欧拉法及其截断误差欧拉法及其截断误差4、欧拉公式的截断误差是、欧拉公式的截断误差是O(h2)，公式是公式是1 阶的。阶的。因为因为1(,)()()iiiiiiyyh f x yy xh y

8、x+=+211()()()()2iiiy xy xyx hyh（泰勒公式）（泰勒公式）两式相减，由设两式相减，由设 yi=y(xi)，有，有 221112iiy xyyhO h2()11()()()()()()()2!nniiiiy xy xyxyxxyxxn147.1.2 改进的欧拉法及预测改进的欧拉法及预测-校正公式校正公式对微分方程对微分方程y=f(x,y)两边求两边求xi 到到xi+1 的定积分，有的定积分，有11()()(,()iixiixy xy xf t y t dt+-=利用梯形公式计算积分，有利用梯形公式计算积分，有 1111()()(,()(,()2iiiiiiiixxy

9、xy xf x y xf xy x+-+1、改进的欧拉公式的构造、改进的欧拉公式的构造157.1.2 改进的欧拉法及预测改进的欧拉法及预测-校正公式校正公式将将y(xi)、y(xi+1)分别用分别用yi、yi+1 代替，构造相应的代替，构造相应的数值公式：数值公式：（改进的欧拉公式）（改进的欧拉公式）)(,2,1,0,),(),(200111xyyiyxfyxfhyyiiiiii167.1.2 改进的欧拉法及预测改进的欧拉法及预测-校正公式校正公式2、改进的欧拉公式的截断误差为、改进的欧拉公式的截断误差为O(h3)因而改进的欧拉法是二阶的。因而改进的欧拉法是二阶的。177.1.2 改进的欧拉法

10、及预测改进的欧拉法及预测-校正公式校正公式3、改进的欧拉法的具体使用格式。改进的欧拉法的具体使用格式。改进的欧拉法是隐式公式改进的欧拉法是隐式公式,计算时常用迭代法。一计算时常用迭代法。一般每一步先由欧拉公式计算出般每一步先由欧拉公式计算出yi+1 的初始值的初始值yi+1(0),再迭代计算再迭代计算yi+1。,2,1,0),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxfhyykiiiiikiiiii当满足当满足(1)()11|kkiiyye+-时，取时，取(1)11.kiiyy+=可证明当可证明当f(x,y)满足一定条件时，迭代是收敛的。满足一定条件时，迭代是收敛的。)(

11、,2,1,0,),(),(200111xyyiyxfyxfhyyiiiiii187.1.2 改进的欧拉法及预测改进的欧拉法及预测-校正公式校正公式改进的欧拉法的预测校正公式改进的欧拉法的预测校正公式()1()111(,)(,)(,)20,1,2,piiiipiiiiiiyyh f x yhyyf x yf xyi可证明预测校正公式的截断误差也为可证明预测校正公式的截断误差也为 O(h3)。197.1.2 改进的欧拉法及预测改进的欧拉法及预测-校正公式校正公式例例 取步长取步长h=0.2,用改进的欧拉法的预测校正公用改进的欧拉法的预测校正公式求解初值问题的数值解式求解初值问题的数值解y1,y2.

12、(0)1yxyy=+=解解 00(,),0,1f x yxy xy=+=()1()1110.2()0.21.20.1()()piiiiiipiiiiiiyyxyxyyyxyxy+=+=+=+预测预测-校正公式具体是校正公式具体是 207.1.2 改进的欧拉法及预测改进的欧拉法及预测-校正公式校正公式()1000.21.21.2pyxy=+=()1000110.1()()10.1(010.21.2)1.24pyyxyxy=+=()2110.21.20.20.21.2 1.241.528pyxy=+=+=11.24y=21.5768y=()2111220.1()()1.240.1(0.21.240

13、.41.528)1.5768pyyxyxy=+=+=21设：改用后差商设：改用后差商 替代方程中的导数项替代方程中的导数项 7.1.2 向后向后(隐式隐式)欧拉公式欧拉公式 111()iiiy xy xy xh111,iiiiyyhf xy可以得到向后欧拉公式可以得到向后欧拉公式l这是隐式欧拉格式，也是一阶方法，精度与欧拉这是隐式欧拉格式，也是一阶方法，精度与欧拉公式相当。计算公式相当。计算yi+1通常用迭代法通常用迭代法:(0)1(1)()111,0,1,2,iiiikkiiiiyyhf x yyyhf xyk227.1.2 两步欧拉公式两步欧拉公式设改用中心差商设改用中心差商 替代方程替代

14、方程 中的导数项中的导数项，再离散化，即可，再离散化，即可导出下列格式导出下列格式无论是显式欧拉公式还是隐式欧拉公式，它们都无论是显式欧拉公式还是隐式欧拉公式，它们都是单步法，其特点是计算时只用到前一步的信息是单步法，其特点是计算时只用到前一步的信息yi，而该格式却调用了前面两步的信息而该格式却调用了前面两步的信息yi-1,yi ，两步欧，两步欧拉格式因此而得名。拉格式因此而得名。两步欧拉格式具有更高的精度，它是二阶方法。两步欧拉格式具有更高的精度，它是二阶方法。1112iiy xy xh,nnnyxf xy x112,iiiiyyhf x y23引言：引言：（回顾）（回顾）00)(,),(y

15、xybaxyxfy本章解决的问题：本章解决的问题：一阶常微分方程的初值问题一阶常微分方程的初值问题247.1 欧拉法和改进的欧拉法欧拉法和改进的欧拉法预测校正公式预测校正公式()1()111(,)(,)(,)20,1,2,piiiipiiiiiiyyh f x yhyyf x yf xyi改进的欧拉公式改进的欧拉公式 )(,2,1,0,),(),(200111xyyiyxfyxfhyyiiiiii )(,2,1,0,),(001xyyiyxfhyyiiii欧拉公式欧拉公式 257.1 欧拉法和改进的欧拉法欧拉法和改进的欧拉法两步欧拉公式两步欧拉公式112,nnnnyyhfxy向后欧拉公式向后欧

16、拉公式111,nnnnyyhfxy267.2 龙格龙格-库塔法库塔法(R-K法法)l7.2.1 二阶龙格二阶龙格-库塔公式库塔公式l7.2.2 四阶龙格四阶龙格-库塔公式库塔公式27引言：引言：公式构造思想公式构造思想：从泰勒公式出发，寻找更高阶的：从泰勒公式出发，寻找更高阶的数值公式。数值公式。例如，泰勒公式计算到二阶可得例如，泰勒公式计算到二阶可得 231()()()()()2!y xhy xy x hyx hO h+=+()(,()(,()()(,()(,()(,()xyy xf x y xdf x y xyxfx y xfx y xf x y xdx=+令令ixx=则则1ixhx+=略去余项，得出一个二阶的数值公式为略去余项，得出一个二阶的数值公式为21(,)(,)(,)(,)2iiiixiiyiiiihyyf x y hfx yfx yf x y+=+因因28引言：引言：理论上按此方式可以得到更高阶的公式。但需理论上按此方式可以得到更高阶的公式。但需要计算复合函数的高阶导数，使算法复杂而不实要计算复合函数的高阶导数，使算法复杂而不实用。用。龙格龙格库塔的思想（间接地运用泰勒公