第4讲测边网条件平差.ppt

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1、第三章 条件平差3.2 条件方程内容安排一、高程控制网条件方程的列立二、导线网条件方程的列立三、测角网条件方程的列立四、测边网条件方程的列立3.2 条件方程四、测边网条件方程的列立1、条件方程个数的确定和测角网一样，在测边网中也可分解为三角形、大地四边形和中点多边形三种基本图形。(1)对于测边三角形，决定其形状和大小的必要观测为三条边长。所以t=3，此时r=n-t=0，即测边三角形不存在条件方程。(2)对于测边四边形，决定第一个三角形必须观测3条边长，决定第二个三角形只需再增加2条边长，所以确定一个四边形的图形，必须观测5条边长，即t=5，所以r=n-t=6-5=1，存在一个条件方程。(3)对

2、于中点多边形，例如中点五边形，它由五个独立三角形组成，此时t=3+2*3=9，故有r=n-t=10-9=1。测边网中的中点多边形与大地四边形个数之和，即为该网条件方程的总数。四、测边网条件方程的列立2、条件方程的列立 图形条件的列出，可以用角度闭合法、边长闭合法和面积闭合法等，本节仅介绍角度闭合法。测边网的图形条件按角度闭合法列出，其基本思想是：利用观测边长求出网中的内角，列出角度间应满足的条件，然后，以边长改正数代换角度改正数，得到以边长改正数表示的图形条件。03210321Wvvv)(321W2、条件方程的列立例如，图1的测边四边形中，由观测边长Si（i=1,2,36）精确地算出角值j（j

3、=1,2,3），此时，平差值条件方程为以角度改正数表示的图形条件为312图1ABDCh1h2h3S1S3S2S4S6S5（*）0321Wvvv)360(321W图2ABCDh1h2h3123S1S2S3 同样，图2中的测边中点三边形中，以角度改正数表示的图形条件为：（*）上述条件中的角度改正数必须代换成观测值（边长）的改正数，才是图形条件的最终形式。为此，必须找出边长改正数和角度改正数之间的关系式。2、条件方程的列立ASSSSScbcbacos2222AdASSdSASSdSASSdSScbcbcbcbaasin2)cos22()cos22(2)cos()cos(sin1cbcbcbaacbd

4、SASSdSASSdSSASSdAaabbcbhShSASS)2(sin倍三角形面积CSASSacbcoscosBSASSabccoscos)coscos(1cbaaBdSCdSdShdA图3CABScSahahchbSb2、条件方程的列立下面（以图3为例）给出角度改正数与边长改正数之间的关系式。CABScSaSbhbhahc)coscos(1cbaaBdSCdSdShdA)coscos(cbaSSSaABvCvvhv 将上式中的微分换成相应的改正数，同时考虑到式中dA的单位是弧度，而角度改正数是以(”)为单位，故上式可写成：这就是角度改正数与三个边长改正数之间的关系式，以后称该式为角度改正数

5、方程。2、条件方程的列立括号中角括号中角A A的对边改正数的对边改正数 的系数为的系数为+1+1，V VA A式的右端的括号外为式的右端的括号外为 ；角角A A的两个邻边改正数的两个邻边改正数 和和 的系数都是该边邻角的系数都是该边邻角的负余弦。的负余弦。)coscos(cbaSSSaABvCvvhv ah aSvbSvcSvCABScSaSbhbhahc上式有如下上式有如下规律：规律：2、条件方程的列立)coscos()coscos()coscos(314332622151321SSSSSSSSSADBvABDvvhvADCvACDvvhvACBvABCvvhv 31ABDCh1h2h3S1

6、S3S2S4S6S522、条件方程的列立可以得出图1中角1、2及3改正数与各边改正数之间的关系式h1、h2及h3分别是从A点向i（i=1,2,3）角对边所作的高。0coscoscoscoscoscos654321213232113 WvhvhvhvhADChADBvhACDhACBvhABChABDSSSSSS31ABDCh1h2h3S1S3S2S4S6S520321Wvvv（*）将上列三式代入*式，即得四边形的以边长改正数表示的图形条件：2、条件方程的列立0coscoscoscoscoscos654321213232113 WvhvhvhvhADChADBvhACDhACBvhABChABD

7、SSSSSS31ABDCh1h2h3S1S3S2S4S6S521、以A为端点的三条边S1、S2及S3，其改正数vs1、vs2及vs3的系数都由两项组成。外边改正数vs1的系数是3所在三角形（ABD）中ABD的余弦除以其高h3，减去1所在三角形（ABC）中ABC的余弦除以其高h1；外边改正数vs3的系数有同样规律，即3所在三角形（ABD）中ADB的余弦除以其高h3，减去2所在三角形（ACD）中ADC的余弦除以其高h2；而中间边改正数vs2的系数为1、2所在的两个三角形ABC及ACD中的C角（即ACB及ACD）的余弦除以其高之和的反号。2、其余三条边S4、S5及S6的改正数之系数，分别是A点到该边

8、高h3、h1及h2的倒数，其中vs4的系数取负号，而vs5及vs6的系数取正号。注意:如果图形中出现已知边时，在条件方程中，要把该边的改正数项舍去。0coscoscoscoscoscos654321213232113 WvhvhvhvhADChADBvhACDhACBvhABChABDSSSSSS3、各边改正数的系数均乘以”值。31ABDCh1h2h3S1S3S2S4S6S52)coscos()coscos()coscos(463365225411321SSSSSSSSSDACvDCAvvhvDCBvDBCvvhvDBAvDABvvhv 0321WvvvABCDh1h2h3123S1S2S3S

9、4S5S62、条件方程的列立 对于图2中的中点三边形来说，1、2及3的改正数与各边改正数的关系式为0coscoscoscoscoscos354321322131321 WvhDCAhDCBvhDBChDBAvhDAChDABvhvhvhSSSSSSABCDh1h2h3123S1S2S3S4S5S6中点三边形的图形条件上式有如下规律：1、中点三边形外周边长改正数vs1、vs2及vs3的系数，为该边高h3、h1及h2的倒数。2、中点三边形中间各边改正数vs4、vs5及vs6的系数，为该边相邻两周角余弦除以所在三角形外周边的高之和，并反号。3、各改正数的系数均乘以”值。0coscoscoscosco

10、scoscoscoscoscos109876543215144134123113102928175151654321 WvhhvhhvhhvhhvhhvhvhvhvhvhSSSSSSSSSSABCDEFS1S2S7S8S3S9S4S10S5S612345789 1011121314615对于图4的中点五边形来说，它的图形条件为：式中hi为自中点F向外周边Si所作的高。aSprAtg2bSprBtg2cSprCtg22/)(cbaSSSppSpSpSprcba)()(ASBShASCShBSCShbaccabcbasinsinsinsinsinsinCABScSahahchbSb 在具体计算图形

11、条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的单位为cm，高h的单位为km，”取2.063，而闭合差w的单位为秒。由观测边长计算系数中的角值（如图），可按余弦定理或下式计算 例例:如图如图3 31515所示测边网中，所示测边网中，有有2 2个已知点个已知点A A、B B，2 2个待定点个待定点C C、D D和和5 5个边长观测植。个边长观测植。A A点和点和B B点的坐点的坐标、边长观测值见表标、边长观测值见表3 34 4。试按条。试按条件平差法计算：件平差法计算：各待定点坐标平各待定点坐标平差值；差值；C C点坐标平差值的点位中点坐标平差值的点位中误差；误差；C C点至点至D D点间边长平差值的点

12、间边长平差值的中误差和边长相对中误差；中误差和边长相对中误差；C C点点至至D D点间方位角平差值的中误差。点间方位角平差值的中误差。02arccos2arccos2arccos32123243252423422242SSSSSSSSSSSSSSSABABABAB058.3coscoscoscos524213322113vhvBDChBDAhvBCAhBCDhvhvhBCAShBCDShBDAShsin,sin,sin333241解解 本题中n=5，t=4，r=1。1)条件方程和平差值函数式(1)1个条件方程，即1个图形条件（以B点为角顶点）如下其线性形式为其中1232122arccoscos

13、SSSSSSXXABABABACAC3145.132.1SdSdXdC1232122arccossinSSSSSSYYABABABACAC3136.070.0SdSdYdC5SSCD5SdSdCD123212512225212arccos2arccos180SSSSSSSSSSABABABCD532108.166.117.210.3SdSdSdSddCD(2)平差值函数式和权函数式，如下C点Y坐标平差值的函数式为C点至D点间边长平差值的函数式为C点至D点间方位角平差值的函数式为权函数式为权函数式为权函数式为C点X坐标平差值的函数式为权函数式为EPQ131.149.183.062.176.1A0

14、58.3k3471.1013460.01k)(45.052.029.056.061.0TcmV)(8305.10963132.16732271.16648304.10415181.1850mLT2)权的确定 取各边长为等权观测值，权均为1，各观测边长间两两独立，协因数阵为单位阵，即由此组成法方程为3)解算法方程4)改正数利用改正数方程求得5)平差值计算平差值，并代入平差值条件式检核经检验满足所有条件方程由条件方程知系数阵为mYmXmYmXDDCC6159.6158875180.43766012844.6166872300.4377352)(11.1)(12427.10cmcmrPVVT)(97.1)(81.080.1)(81.0)(5387.011.1)(80.1)(6397.211.12200cmcmcmcmQcmcmQCYYYXXXCCCCCC?1080001),(01.1)(8342.011.10CDSSSSScmcmQCDCDCDCD)(58.3)(4105.1011.10CDCDCDQ6)待定点坐标平差值 7)单位权中误差8)C点坐标平差值的点位中误差9)C点至D点间边长平差值的中误差和边长相对中误差10)C点至D点问方位角平差值的中误差